절댓값 유리함수 실근

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-미분법 함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{a ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + 3}$에서 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{2 a ( x + 1 ) ( x ^{2} + 3 ) - 2 ax ( x + 1 ) ^{2}}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$$\displaystyle = - \frac{2 a ( x + 1 ) ( x - 3 )}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = - 1$또는 $x = 3$이므로 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle f ( 0 ) = \frac{1}{3} a ( a > 0 )$, $f ( - 1 ) = 0$, $\displaystyle f ( 3 ) = \frac{4}{3} a$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} f ( x ) = a$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {} f ( x ) = a$이므로 함수 $f ( x )$의 그래프는 다음과 같다

따라서 함수 $f ( x )$는 $x = 3$에서 최댓값 $\displaystyle \frac{4}{3} a$를 갖고, $x = - 1$에서 최솟값 0을 갖는다. 함수 $g ( x )$의 그래프는 함수 $f ( x )$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $k$만큼 평행이동한 다음 $x$축 아래 부분을 접어 올린 그래프이므로 $g' ( - 1 ) = g' ( 3 ) = 0$이고, $g' ( - 1 ) = k$, $\displaystyle g ( 3 ) = \frac{4 a}{3} - k$이다. (ⅰ) $g ( - 1 ) > g ( 3 )$인 경우 조건 (가)에서 $g ( x )$의 최댓값은 $g ( - 1 ) = k = 8$이고, 조건 (나)에서 $\displaystyle \left| g ( 3 ) - g ( - 1 ) \right| = g ( - 1 ) - g ( 3 ) = k - \left( \frac{4 a}{3} - k \right) = 2 k - \frac{4 a}{3} = 2$ 이므로 $\displaystyle 2 \times 8 - \frac{4 a}{3} = 2$에서 $\displaystyle a = \frac{21}{2}$ $\displaystyle \therefore a = \frac{21}{2} , k = 8$ $\displaystyle f ( x ) = \frac{21 ( x + 1 ) ^{2}}{2 ( x ^{2} + 3 )}$, $g ( x ) = \left| f ( x ) - 8 \right|$이므로 $\displaystyle f ( 1 ) = \frac{21}{2} , g ( 1 ) = \frac{5}{2}$ 따라서 두 함수 $f ( x )$, $g ( x )$의 그래프는 각각 다음과 같다.

한편, 실수 $t$에 대하여 함수 $h ( t )$는 방정식 $g ( x ) = t$의 서로 다른 실근의 개수이므로 함수 $h ( x )$는 다음과 같다. $\displaystyle \therefore h ( x ) = {\begin{cases} \begin{aligned} 0 ( x < 0 ) \\ 2 ( x = 0 ) \\ 4 \left( 0 < x < \frac{5}{2} \right) \\ 3 \left( x = \frac{5}{2} \right) \\ 4 \left( \frac{5}{2} < x < 6 \right) \\ 3 ( x = 6 ) \\ 2 ( 6 < x < 8 ) \\ 1 ( x = 8 ) \end{aligned} & \\ 0 ( x > 8 ) & \end{cases}}$ 따라서 $\displaystyle f ( 1 ) + g ( 1 ) + \sum\limits _{n = 1} ^{10} h ( n - 1 )$ $\displaystyle = \frac{21}{2} + \frac{5}{2} + 2 + 5 \times 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 41$ (ⅱ) $g ( - 1 ) < f ( 3 )$인 경우 조건 (가)에서 $g ( x )$의 최댓값은 $\displaystyle g ( 3 ) = \frac{4 a}{3} - k = 8$ $\cdots$ ㉠ 이고 조건 (나)에서 $\displaystyle \left| g ( 3 ) - g ( - 1 ) \right| = g ( 3 ) - g ( - 1 ) = \left( \frac{4 a}{3} - k \right) - k = \frac{4 a}{3} - 2 k = 2$ $\cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡의 두 방정식 $4 a - 3 k = 24$, $4 a - 6 k = 6$을 연립하여 풀면 $\displaystyle a = \frac{21}{2}$, $k = 6$ $\displaystyle f ( x ) = \frac{21 ( x + 1 ) ^{2}}{2 ( x ^{2} + 3 )}$, $g ( x ) = \left| f ( x ) - 6 \right|$이므로 $\displaystyle f ( 1 ) = \frac{21}{2} , g ( 1 ) = \frac{9}{2}$ 따라서 두 함수 $f ( x )$, $g ( x )$의 그래프는 각각 다음과 같다.

한편, 실수 $t$에 대하여 함수 $h ( t )$는 방정식 $g ( x ) = t$의 서로 다른 실근의 개수이므로 함수 $h ( x )$는 다음과 같다. $\displaystyle \therefore h ( x ) = {\begin{cases} \begin{aligned} 0 ( x < 0 ) \\ 2 ( x = 0 ) \\ 4 \left( 0 < x < \frac{9}{2} \right) \\ 3 \left( x = \frac{9}{2} \right) \\ 4 \left( \frac{9}{2} < x < 6 \right) \\ 3 ( x = 6 ) \\ 2 ( 6 < x < 8 ) \\ 1 ( x = 8 ) \end{aligned} & \\ 0 ( x > 8 ) & \end{cases}}$ 따라서 $\displaystyle f ( 1 ) + g ( 1 ) + \sum\limits _{n = 1} ^{10} h ( n - 1 )$ $\displaystyle = \frac{21}{2} + \frac{9}{2} + 2 + 5 \times 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 43$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle f ( 1 ) + g ( 1 ) + \sum\limits _{n = 1} ^{10} h ( n - 1 )$의 최댓값은 43이다.