절댓값 삼차함수와 직선 교점

[출제의도] 함수의 연속성을 활용하여 문제 해결하기 함수 $y = | f ( x ) |$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 $g ( t )$가 $t = 0$에서 불연속이 되는 경우는 $f ( a ) = 0$ 또는 $f ( a ) = 16$인 경우뿐이다. (ⅰ) $f ( a ) = 0$인 경우 $\displaystyle a = \mathrm{-} 2 \sqrt{3}$, $\displaystyle a = 2 \sqrt{3}$ ① $\displaystyle a = \mathrm{-} 2 \sqrt{3}$인 경우 $\displaystyle x < - 2 \sqrt{3}$인 범위에서 $| f ( x ) | = \mathrm{-} \mathit{f} ( x )$이므로 $\displaystyle - f' ( - 2 \sqrt{3} ) = \mathrm{-} 24$ 따라서 그림과 같이 $t = \mathrm{-} 24$일 때 함수 $g ( t )$가 불연속이므로 $k$의 값 중 가장 작은 값은 $0$이 아니다.

② $\displaystyle a = 2 \sqrt{3}$인 경우 그림과 같이 점 $\displaystyle ( 2 \sqrt{3} , 0 )$을 지나는 직선이 $- 2 < x < 0$인 범위에서 곡선 $y = | f ( x ) |$와 접할 때의 기울기 $t$의 값 $t = k$에 대하여 함수 $g ( t )$가 불연속이므로 $k$의 값 중 가장 작은 값은 $0$이 아니다.

(ⅱ) $f ( a ) = 16$인 경우 $a = \mathrm{-} 2$, $a = 4$ $a = \mathrm{-} 2$일 때, 그림과 같이 두 점 $( - 2 , 16 )$, $\displaystyle ( 2 \sqrt{3} , 0 )$을 지나는 직선의 기울기 $t$의 값 $t = k$에 대하여 함수 $g ( t )$가 불연속이므로 $k$의 값 중 가장 작은 값은 $0$이 아니다.

따라서 주어진 조건을 만족하는 $a$의 값은 $4$ 그러므로 점 $( 4 , 16 )$을 지나고, 기울기가 $t$인 직선과 함수 $y = | f ( x ) |$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

직선 $y = t ( x - 4 ) + 16$의 $x$절편이 $\displaystyle 4 - \frac{16}{t}$$( t \ne 0 )$이고, 곡선 $y = x ^{3} - 12 x$ 위의 점 $( 4 , 16 )$에서의 접선의 기울기가 $36$이므로 $t = 1$, $2$일 때, $g ( t ) = 6$ $t = 3$일 때, $g ( t ) = 4$ $t = 4$일 때, $g ( t ) = 3$ $t = 5$, $6$, $\cdots$, $35$일 때, $g ( t ) = 2$ $t = 36$일 때, $g ( t ) = 1$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{36} g ( n ) = 6 \times 2 + 4 + 3 + 2 \times 31 + 1 = 82$ (참고) $a = 4$일 때, 함수 $y = g ( t )$의 그래프는 그림과 같다.