절댓값 삼차함수 미분가능성

[출제의도] 함수의 그래프를 이해하여 함숫값을 구한다. 함수 $g ( x )$는 $x = a$에서 미분가능하고 $g ( a ) = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} {} \frac{g ( x )}{x - a}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a +} {} \frac{g ( x )}{x - a}$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} {} \frac{\left| ( x - a ) f ( x ) \right|}{x - a}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a +} {} \frac{\left| ( x - a ) f ( x ) \right|}{x - a}$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} {} \frac{- ( x - a ) \left| f ( x ) \right|}{x - a}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a +} {} \frac{( x - a ) \left| f ( x ) \right|}{x - a}$ 그러므로 $- \left| f ( a ) \right| = \left| f ( a ) \right|$에서 $f ( a ) = 0$ $f ( x ) = ( x - a ) ( x - k )$ ($k$는 상수)라 하면 함수 $g ( x ) = \left| ( x - a ) ^{2} ( x - k ) \right|$가 $x = 3$에서만 미분가능하지 않으므로 $k = 3$이다. 그러므로 $g ( x )$$= \left| ( x - a ) ^{2} ( x - 3 ) \right|$, $h ( x ) = ( x - a ) ^{2} ( x - 3 )$ 이라 하면 $a < 3$이고 함수 $g ( x )$의 극댓값이 $32$이므로 함수 $h ( x )$의 극솟값은 $- 32$이다. $h' ( x )$$= 2 ( x - a ) ( x - 3 ) + ( x - a ) ^{2}$$= ( x - a ) ( 3 x - 6 - a )$$= 0$ 함수 $h ( x )$는 $\displaystyle x = \frac{6 + a}{3}$에서 극솟값 $- 32$를 갖는다. $\displaystyle h \left( \frac{6 + a}{3} \right)$$\displaystyle = \left( \frac{6 + a}{3} - a \right) ^{2} \left( \frac{6 + a}{3} - 3 \right)$ $\displaystyle = \mathit{-} 4 \left( 1 - \frac{a}{3} \right) ^{3}$$= \mathit{-} 32$ $\displaystyle \left( 1 - \frac{a}{3} \right) ^{3}$$= 8$이므로 $\displaystyle 1 - \frac{a}{3} = 2$ 에서 $a = \mathit{-} 3$ 따라서 $f ( x ) = ( x + 3 ) ( x - 3 )$에서 $f ( 4 ) = 7$