절댓값 삼차함수 접선

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f \left( x \right)$에서 조건 (가)에 의하여 $y = f' \left( x \right)$의 그래프가 직선 $x = 2$에 대하여 대칭이므로 $f' \left( x \right) = 3 \left( x - 2 \right) ^{2} + a$ 라 하면 $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{3} + ax + b$ ($a$, $b$는 상수) 이때 삼차함수 $f \left( x \right)$의 극값이 존재하지 않거나 극솟값이 $0$이상일 경우 다음 그림과 같이 조건 (나)를 만족하지 않으므로 곡선 $y = g \left( x \right)$위의 점에서의 접선을 $y = h \left( x \right)$라 하면 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$f' \left( 0 \right) = - f' \left( 5 \right)$이므로 $f' \left( 0 \right) = 12 + a$, $f' \left( 5 \right) = 27 + a$ $12 + a = - 27 - a$ $\therefore$ $\displaystyle a = - \frac{39}{2}$ 직선 $y = h \left( x \right)$는 두 점 $\left( 0 , f \left( 0 \right) \right)$, $\left( 5 , - f \left( 5 \right) \right)$을 지나므로 직선 $y = h \left( x \right)$의 기울기는 $\displaystyle \frac{- f \left( 5 \right) - f \left( 0 \right)}{5 - 0} = \frac{- b + \frac{141}{2} + 8 - b}{5 - 0} = \frac{- 2 b + \frac{157}{2}}{5}$ $\displaystyle f' \left( 0 \right) = 12 - \frac{39}{2} = - \frac{15}{2}$에서 $\displaystyle \frac{- 2 b + \frac{157}{2}}{5} = - \frac{15}{2}$ $\therefore$ $b = 58$ $\therefore$ $g \left( 8 \right)$$= \left| f \left( 8 \right) \right|$ $= \left| 216 - 156 + 58 \right|$ $= 118$