절댓값 삼차함수 접선

[출제의도] 접선의 방정식과 그래프의 개형을 활용하여 문제 해결하기 $f \left( 0 \right) = 0$이므로 $f \left( x \right) = ax ^{3} + bx ^{2} + cx$$\displaystyle ( \begin{matrix} \end{matrix}$$a$, $b$, $c$는 상수$\displaystyle \begin{matrix} ) \end{matrix}$라 하면 $f' \left( 0 \right) = c$, $g \left( x \right) = cx$ 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\left( 0 , 0 \right)$에서의 접선의 기울기 $c$에 대하여 (ⅰ) $c = 0$이면 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $c > 0$이면 $h \left( 12 \right) > 0$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $c < 0$, $a > 0$이면 두 함수 $y = f \left( x \right)$와 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 다음과 같으므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ⅳ) $c < 0$, $a < 0$이면 두 함수 $y = f \left( x \right)$와 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 다음과 같은 경우에는 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

그러므로 두 함수 $y = f \left( x \right)$와 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 다음과 같은 경우에만 조건 (가), (나)를 만족시킨다.

조건 (가)에 의하여 $f \left( x \right) + g \left( x \right) = ax \left( x - k \right) ^{2}$ $\cdots$ ㉠ 조건 (나)에 의하여 $- f \left( x \right) + g \left( x \right) = \mathit{-} ax ^{2} \left( x - 12 \right)$ $\cdots$ ㉡ 두 식 ㉠, ㉡을 연립하면 $2 g \left( x \right) = 2 a \left( 6 - k \right) x ^{2} + ak ^{2} x$ $6 - k = 0$, $k = 6$ $g \left( x \right)$$= 18 ax$ $f \left( x \right)$$= ax \left( x - 6 \right) ^{2} - 18 ax$$= ax \left( x ^{2} - 12 x + 18 \right)$

방정식 $x ^{2} - 12 x + 18 = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$$\left( \alpha < \beta \right)$라 하면 $\displaystyle \alpha = 6 - 3 \sqrt{2}$, $\displaystyle \beta = 6 + 3 \sqrt{2}$ 함수 $h ( x )$는 다음과 같다.

$\alpha < 3 < \beta$이므로 $\displaystyle h \left( 3 \right) = a \times 3 \times \left( 3 - 6 \right) ^{2} = 27 a = \mathit{-} \frac{9}{2}$ $\displaystyle a = \mathit{-} \frac{1}{6}$, $c = \mathit{-} 3$

$\displaystyle \alpha = 6 - 3 \sqrt{2}$, $\displaystyle \beta = 6 + 3 \sqrt{2}$이므로 $\alpha < 6 < \beta < 11$ $h \left( 6 \right) = 0$, $\displaystyle h \left( 11 \right) = \frac{1}{6} \times 11 ^{2} \times \left( - 1 \right) = \mathit{-} \frac{121}{6}$ 따라서 $k \times \left\{ h \left( 6 \right) - h \left( 11 \right) \right\}$$\displaystyle = 6 \times \left\{ 0 - \left( - \frac{121}{6} \right) \right\}$$= 121$ [참고] 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.