미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

절댓값 삼차함수 극값

문제

함수 f(x)=x3−3px2+qf ( x ) = x ^{3} - 3 p x ^{2} + q 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 25\mathrm{25} 이하의 두 자연수 pp, qq의 모든 순서쌍 (p,q)\left( p , q \right)의 개수를 구하시오. [4점]

(가) 함수 ∣f(x)∣\left| f \left( x \right) \right|가 x=ax = a에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 실수 aa의 개수는 5\mathrm{5}이다. (나) 닫힌구간 [−1,1]\left[ - 1 , 1 \right]에서 함수 ∣f(x)∣\left| f \left( x \right) \right|의 최댓값과 닫힌구간 [−2,2]\left[ - 2 , 2 \right]에서 함수 ∣f(x)∣\left| f \left( x \right) \right|의 최댓값은 같다.

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해설

(가)를 만족하려면 그림과 같이 f(x)=0f ( x ) = 0은 서로 다른 세 실근을 갖는다. f′(x)=3x2−6px=3x(x−2p)f' ( x ) = 3 x ^{2} - 6 p x = 3 x ( x - 2 p ) f(0)=q>0f ( 0 ) = q > 0, f(2p)=−4p3+q<0f ( 2 p ) = - 4 p ^{3} + q < 0 즉 q<4p3q < 4 p ^{3} (나)를 만족하려면 각 구간에서 최댓값은 f(0)=qf ( 0 ) = q일 때이다. 한편 f(−1)=−1−3p+qf ( - 1 ) = - 1 - 3 p + q, f(1)=1−3p+qf ( 1 ) = 1 - 3 p + q f(2)=8−12p+qf ( 2 ) = 8 - 12 p + q, f(−2)=−8−12p+qf ( - 2 ) = - 8 - 12 p + q −q≤f(−1)≤q- q \leq f ( - 1 ) \leq q, −q≤f(1)≤q- q \leq f ( 1 ) \leq q −q≤f(−2)≤q- q \leq f ( - 2 ) \leq q, −2≤f(2)≤q- 2 \leq f ( 2 ) \leq q 인데, f(−2)≥−qf ( - 2 ) \geq - q이면 충분하다. −8−12p+q≥−q- 8 - 12 p + q \geq - q, 즉 4+6p≤q4 + 6 p \leq q 두 조건으로부터 4+6p≤q<4p34 + 6 p \leq q < 4 p ^{3}을 만족하는 2525 이하의 자연수는 p=2p = 2일 때 16≤q≤2516 \leq q \leq 25−−- -1010개 p=3p = 3일 때 22≤q≤2522 \leq q \leq 25−−- -44개 ∴\therefore1414개

태그

#삼차함수#절댓값#극대 극소#최대 최소

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