절댓값 삼차함수 극대

[출제의도] 그래프의 성질을 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. $g ( - x ) = g ( x )$에서 $\left| f ( - x ) \right| = \left| f ( x ) \right|$이므로 $f ( - x ) = f ( x )$ 또는 $f ( - x ) = - f ( x )$이다. $f ( x )$는 삼차함수이므로 $f ( - x ) = f ( x )$가 성립하지 않는다. 따라서 $f ( - x ) = - f ( x )$이고 $f ( x ) = x ^{3} + ax$ ($a$는 실수)이다. $f' ( x ) = 3 x ^{2} + a$이므로 $y = f ( x )$의 그래프는 $a$의 값에 따라 두 가지 형태이다. ⑴ $a \geq 0$일 때 ⑵ $a < 0$일 때

$y = g ( x ) = \left| f ( x ) \right|$의 그래프는 $a$의 값에 따라 두 가지 형태이다. ⑴ $a \geq 0$일 때 ⑵ $a < 0$일 때

두 함수 $y = g ( x ) ,$ $y = x ^{2} + 3$의 그래프가 서로 다른 네 점에서 만나기 위해서는 $a < 0$이면서 아래의 그림과 같은 모양이 되어야 한다.

따라서 두 함수 $y = f ( x ) ,$ $y = x ^{2} + 3$의 그래프는 다음 그림과 같이 두 점에서 만난다.

제 $2$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{T} \mathit{(} p , q )$라 하면 두 함수 $y = f ( x )$와 $y = x ^{2} + 3$은 점 ${\mathrm{T}} ( p , q )$에서 공통접선을 가지므로 $q = p ^{2} + 3 \cdots \text{①} ,$ $q = p ^{3} + ap \cdots \text{ ②} ,$$2 p = 3 p ^{2} + a \cdots \text{ ③}$ $\text{ ①}$에서$q = p ^{2} + 3 ,$$\text{ ③}$에서$a = 2 p - 3 p ^{2}$을$\text{ ②}$에 대입하면 $p ^{2} + 3 = p ^{3} + ( 2 p - 3 p ^{2} ) p ,$ $2 p ^{3} - p ^{2} + 3 = 0$ $( p + 1 ) ( 2 p ^{2} - 3 p + 3 ) = 0$ 따라서 $p = - 1 ,$ $q = 4 ,$ $a = - 5$이므로 ${\mathrm{T}} ( - 1 , 4 ) ,$ $f ( x ) = x ^{3} - 5 x$ $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 5 = 0$에서 $\displaystyle x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$이고 $f ( x )$는 $\displaystyle x = - \frac{\sqrt{15}}{3}$일 때 극대이다.