절댓값 사차함수와 연속

[출제의도] 함수의 연속을 이용하여 추론하기 함수 $f ( x )$가 극대 또는 극소가 되는 $x$의 값을 $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3} \left( \alpha _{1} < \alpha _{2} < \alpha _{3} \right)$이라 하자. 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면

조건 (가)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $\left| g \left( x \right) \right| = f \left( x \right)$ 이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x ) \geq 0$이고, 임의의 실수 $k$에 대하여 $g \left( k \right) = f \left( k \right)$ 또는 $g \left( k \right) = - f \left( k \right)$이다. 또한 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{g \left( k + t \right) - g \left( k \right)}{t} = \left| f' \left( k \right) \right|$이고 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} t = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \left\{ g \left( k + t \right) - g \left( k \right) \right\} = 0$, $\displaystyle g \left( k \right) = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} g \left( k + t \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠

실수 $k$에 대하여 (ⅰ) $k < \alpha _{1}$ 또는 $\alpha _{2} \leq k < \alpha _{3}$일 때 ⓐ $k < \alpha _{1}$ 또는 $\alpha _{2} < k < \alpha _{3}$일 때 $g ( k ) = f ( k )$이면 ㉠에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{g ( k + t ) - g ( k )}{t} = f' ( k ) < 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{g ( k + t ) - g ( k )}{t} = \left| f' ( k ) \right|$를 만족시키지 않는다. 그러므로 $g \left( k \right) = - f \left( k \right)$ ⓑ $k = \alpha _{2}$일 때 ⓐ와 ㉠에 의하여 $\displaystyle g \left( \alpha _{2} \right) = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} g \left( \alpha _{2} + t \right) = - f \left( \alpha _{2} \right)$ (ⅱ) $\alpha _{1} \leq k < \alpha _{2}$ 또는 $k \geq \alpha _{3}$일 때 ⓐ $\alpha _{1} < k < \alpha _{2}$ 또는 $k > \alpha _{3}$일 때 $g \left( k \right) = - f \left( k \right)$이면 ㉠에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{g ( k + t ) - g ( k )}{t} = - f' ( k ) < 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{g ( k + t ) - g ( k )}{t} = \left| f' ( k ) \right|$를 만족시키지 않는다. 그러므로 $g ( k ) = f ( k )$ ⓑ $k = \alpha _{1}$ 또는 $k = \alpha _{3}$일 때 ⓐ와 ㉠에 의하여 $\displaystyle g \left( \alpha _{1} \right) = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} g \left( \alpha _{1} + t \right) = f \left( \alpha _{1} \right)$, $\displaystyle g \left( \alpha _{3} \right) = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} g \left( \alpha _{3} + t \right) = f \left( \alpha _{3} \right)$ 그러므로 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} - f \left( x \right) & & \left( x < \alpha _{1} \text{또는} \alpha _{2} \leq x < \alpha _{3} \right) \\ f \left( x \right) & & \left( \alpha _{1} \leq x < \alpha _{2} \text{또는} x \geq \alpha _{3} \right) \end{cases}}$

함수 $g ( x )$가 $x = k$에서 불연속이면 $f' ( k ) = 0$이고 $f ( k ) \neq 0$이다. 함수 $f ( x )$의 최솟값은 $f \left( \alpha _{1} \right)$ 또는 $f \left( \alpha _{3} \right)$이고 $f \left( \alpha _{1} \right) \neq f \left( \alpha _{3} \right)$이므로 함수 $g ( x )$가 $x = k$에서 불연속인 실수 $k$의 개수는 $f \left( \alpha _{1} \right) > 0$이고 $f \left( \alpha _{3} \right) > 0$이면 $\mathrm{3}$, $f \left( \alpha _{1} \right) = 0$ 또는 $f \left( \alpha _{3} \right) = 0$이면 $\mathrm{2}$이다. 함수 $g ( x )$가 $x = k$에서 불연속이라 하자. 조건 (나)에 의하여 함수 $g ( x ) h ( x )$는 $x = k$에서 연속이므로 $\displaystyle g ( k ) h ( k ) = \lim\limits _{x \rightarrow k +} g ( x ) h ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow k -} g ( x ) h ( x )$ 그러므로 $\displaystyle h \left( k \right) = \lim\limits _{x \rightarrow k +} {} h \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow k -} {} h \left( x \right) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 또는 $h \left( k \right) \ne 0$이고 $\displaystyle h \left( k \right) = \lim\limits _{x \rightarrow k +} {} h \left( x \right) = - \lim\limits _{x \rightarrow k -} {} h \left( x \right)$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉡을 만족시키는 실수 $k$의 값은 $\displaystyle a \leq - \frac{3}{2}$이면 $\displaystyle - \frac{3}{2}$이고 $\displaystyle - \frac{3}{2} < a \leq - \frac{1}{2}$이면 존재하지 않으며 $\displaystyle a > - \frac{1}{2}$이면 $\displaystyle - \frac{1}{2}$이다. 실수 $k$가 ㉢을 만족시키면 함수 $h ( x )$는 $x = k$에서 불연속이므로 $k = a$이고 $4 k + 2 = - \left( - 2 k - 3 \right)$에서 $\displaystyle k = a = \frac{1}{2}$ 그러므로 ㉡ 또는 ㉢을 만족시키는 실수 $k$의 개수는 실수 $a$의 값에 따라서 최대 $\mathrm{2}$이다. 그러므로 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$이고 $f \left( \alpha _{1} \right) = 0$ 또는 $f \left( \alpha _{3} \right) = 0$이며 함수 $g \left( x \right)$는 $\displaystyle x = - \frac{1}{2}$, $\displaystyle x = \frac{1}{2}$에서만 불연속이다. (ⅰ) $f \left( \alpha _{1} \right) = 0$일 때

함수 $g ( x )$가 $x = \alpha _{2}$, $x = \alpha _{3}$에서 불연속이므로 $\displaystyle \alpha _{2} = - \frac{1}{2}$, $\displaystyle \alpha _{3} = \frac{1}{2}$ $g ( 0 ) < 0$이므로 $\displaystyle g ( 0 ) = \frac{40}{3}$을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $f \left( \alpha _{3} \right) = 0$일 때

함수 $g ( x )$가 $x = \alpha _{1}$, $x = \alpha _{2}$에서 불연속이므로 $\displaystyle \alpha _{1} = - \frac{1}{2}$, $\displaystyle \alpha _{2} = \frac{1}{2}$ $f' ( x )$$\displaystyle = 16 \left( x + \frac{1}{2} \right) \left( x - \frac{1}{2} \right) \left( x - \alpha _{3} \right)$ $= 16 x ^{3} - 16 \alpha _{3} x ^{2} - 4 x + 4 \alpha _{3}$ 에서 $f ( x )$$\displaystyle = \int \left( 16 x ^{3} - 16 \alpha _{3} x ^{2} - 4 x + 4 \alpha _{3} \right) d x$ $\displaystyle = 4 x ^{4} - \frac{16}{3} \alpha _{3} x ^{3} - 2 x ^{2} + 4 \alpha _{3} x + C$ ($C$는 적분상수) $\displaystyle f ( 0 ) = g ( 0 ) = \frac{40}{3}$이므로 $\displaystyle C = \frac{40}{3}$ $\displaystyle f \left( \alpha _{3} \right) = - \frac{4}{3} \alpha _{3} \mathit{^{4}} + 2 \alpha _{3} \mathit{^{2}} + \frac{40}{3} = 0$ $2 \alpha _{3} \mathit{^{4}} - 3 \alpha _{3} \mathit{^{2}} - 20 = 0$ $\left( \alpha _{3} + 2 \right) \left( \alpha _{3} - 2 \right) \left( 2 \alpha _{3} \mathit{^{2}} + 5 \right) = 0$ $\displaystyle \alpha _{3} > \frac{1}{2}$이므로 $\alpha _{3} = 2$ 그러므로 $\displaystyle f ( x ) = 4 x ^{4} - \frac{32}{3} x ^{3} - 2 x ^{2} + 8 x + \frac{40}{3}$, $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} - f \left( x \right) & & \left( x < \mathit{-} \frac{1}{2} \text{또는} \frac{1}{2} \leq x < 2 \right) \\ f \left( x \right) & & \left( - \frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2} \text{또는} x \geq 2 \right) \end{cases}}$, $$ $\displaystyle h ( x ) = \begin{cases} 4 x + 2 & & \left( x < \frac{1}{2} \right) \\ - 2 x - 3 & & \left( x \geq \frac{1}{2} \right) \end{cases}$ 따라서 $\displaystyle g ( 1 ) \times h ( 3 ) = \left( - \frac{38}{3} \right) \times ( - 9 ) = 114$