절댓값 사차함수 미분

$f ( x ) = - 3 x ^{4} + 4 x ^{3} + 12 x + 4$ 에서 $f' ( x ) = - 12 x ^{3} + 12 x ^{2} + 12 = - 12 x ( x + 1 ) ( x - 2 )$ 도함수의 부호와 함수의 증감으로부터 $y = f ( x )$의 그래프를 그리면 다음과 같다.

이제 $g ( x ) = \left| f ( x ) - a \right|$, $y = f ( x )$의 그래프를 $y = a$에서 접어 올린다음 $y = a$를 $x$축으로 본 그래프와 같다. 이때 $y = a$와 $y = f ( x )$의 교점이 $y = f ( x )$의 극점이 아니면 접힌 점은 모두 꺾이게 되어 미분가능하지 않다. 마찬가지로, $y = g ( x )$에서 $y = b$에서 접어 올린다음 $y = b$를 $x$축으로 본 그래프가 $y = \left| g ( x ) - b \right|$인데, 것은 $y = f ( x )$의 그래프를 $y = a$, $y = a + b$, $y = a - b$ 라는 3곳에서 접은 것과 같다. 따라서 (가)에서 $y = a + b$, $y = a - b$와 $y = f ( x )$는 교점이 4개이고, (나)에서 $y = a$, $y = a + b$, $y = a - b$와 $y = f ( x )$의 교점 중 4곳만 꺾어져서 미분가능하지 않은 점이라야 하고, 다른 점은 $y = f ( x )$의 극점이다. 위의 결과를 다 만족하는 경우는 다음과 같은 두 가지이다. ㄱ) ㄴ)

$\displaystyle \begin{aligned} a + b = 36 , a - b = 9 \\ a = \frac{45}{2} ( \ne \text{자연수} ) \\ b = \frac{27}{2} \\ \therefore \text{성립} \text{안함} \end{aligned}$ $\begin{aligned} a + b = 36 , a - b = 4 \\ a = 20 ( \text{자연수} ) \\ b = 16 \\ \therefore \text{성립함} \end{aligned}$ ㄴ)에서 $a + b = 36$