절댓값 미분가능성

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-미분법 $f ( x ) = x ^{2} + ax + b$ ($a , b$는 상수)라 하자. 실수 $t$에 대하여 함수 $h ( t )$의 값은 직선 $y = g ( t )$와 곡선 $y = g ( x )$가 접하는 경우를 제외하고, 서로 만나는 교점의 개수와 같다. $g ( x ) = f ( x ) e ^{x}$, $g' ( x ) = \left\{ f ( x ) + f' ( x ) \right\} e ^{x}$이므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 두 이차방정식 $f ( x ) = 0$, $f ( x ) + f' ( x ) = 0$의 판별식을 각각 $D _{1} , D _{2}$라 할 때, $D _{1} , D _{2}$의 값에 따라 달라진다 $f ( x ) = x ^{2} + ax + b = 0$에서 $D _{1} = a ^{2} - 4 b$ $f ( x ) + f' ( x ) = x ^{2} + ax + b + ( 2 x + a )$$= x ^{2} + ( a + 2 ) x + a + b = 0$ 에서 $D _{2} = ( a + 2 ) ^{2} - 4 ( a + b ) = a ^{2} - 4 b + 4 = D _{1} + 4$ (ⅰ) $D _{1} > 0$일 때 $D _{2} = D _{1} + 4 > 0$이므로 곡선 $y = g ( x )$는 $x$축과 2개의 교점을 가지고, 함수 $g ( x )$는 극댓값과 극솟값을 각각 1개씩 가지므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 함수 $y = h ( t )$의 그래프의 개형은 아래 그림과 같으므로 함수 $h ( t )$의 불연속인 $t$의 개수는 5이다.

(ⅱ) $D _{1} = 0$일 때, $D _{2} = 4 > 0$이므로 곡선 $y = g ( x )$는 $x$축과 접하고, 함수 $g ( x )$는 극댓값과 극솟값을 각각 1개씩 가지므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 함수 $y = h ( t )$의 그래프의 개형은 아래 그림과 같으므로 함수 $h ( t )$의 불연속인 $t$의 개수는 3이다.

(ⅲ) $D _{1} < 0$일 때, $D _{2} > 0$이면 곡선 $y = g ( x )$는 $x$축과 만나지 않고, 함수 $g ( x )$는 극댓값과 극솟값을 각각 1개씩 가지므로 함수 $g ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 함수 $y = h ( t )$의 그래프의 개형은 아래 그림과 같으므로 함수 $h ( t )$의 불연속인 $t$의 개수는 4이다.

(ⅳ) $D _{1} < 0$일 때, $D _{2} < 0$이면 곡선 $y = g ( x )$는 $x$축과 만나지 않고 함수 $g ( x )$는 증가함수이므로 그래프의 개형은 그림과 같다.

따라서 함수 $y = h ( t )$의 그래프의 개형은 아래 그림과 같으므로 함수 $h ( t )$의 불연속인 $t$의 개수는 0이다.

(ⅴ) $D _{1} < 0$일 때, $D _{2} = 0$이면 곡선 $y = g ( x )$는 $x$축과 만나지 않고, 함수 $g ( x )$의 극값이 존재하지 않으므로 $g' ( x ) = 0$을 만족시키는 $x$의 값을 $x = \alpha$라 하면 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 아래 그림과 같다.

따라서 함수 $y = h ( t )$의 그래프의 개형은 아래 그림과 같으므로 함수 $h ( t )$의 불연속인 $t$의 개수는 1이다.

(ⅰ)~(ⅴ)에서 조건을 만족시키는 경우는 (ⅴ)이다. $g' ( \alpha ) = 0$에서 $\left\{ f ( \alpha ) + f' ( \alpha ) \right\} e ^{\alpha} = 0$ 따라서 $f ( \alpha ) + f' ( \alpha ) = 0$, 즉 $f ( \alpha ) = - f' ( \alpha )$ $g ( \alpha ) = f ( \alpha ) e ^{\alpha} = - f' ( \alpha ) e ^{\alpha} = 2$이므로 $- ( 2 \alpha + a ) e ^{\alpha} = ( - 2 \alpha - a ) e ^{\alpha} = 2$ $\cdots \text{㉠}$ $g' ( x ) = \left\{ f ( x ) + f' ( x ) \right\} e ^{x}$$= ( x ^{2} + ax + b + 2 x + a ) e ^{x}$이고 $g' ( x ) = ( x - \alpha ) ^{2} e ^{x} = ( x ^{2} - 2 \alpha x + \alpha ^{2} ) e ^{x}$이므로 $x ^{2} + ( a + 2 ) x + a + b = x ^{2} - 2 \alpha x + \alpha ^{2}$에서 $a + 2 = - 2 \alpha$, $a + b = \alpha ^{2}$ ㉠에 $- 2 \alpha = a + 2$를 대입하면 $2 e ^{\alpha} = 2$ 따라서 $\alpha = 0$이므로 $a + 2 = 0$에서 $a = - 2$, $- 2 + b = 0$에서 $b = 2$ 따라서 $f ( \alpha ) = f ( 0 ) = b = 2$이다.