절댓값 미분가능 조건

[출제의도] 미분의 성질을 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. $g' ( x ) = e ^{x} f ( x ) + e ^{x} f' ( x )$이고 $g ( 1 ) = g' ( 1 )$이므로 $e f ( 1 ) = e f ( 1 ) + e f' ( 1 )$ $f' ( 1 ) = 0$ 그러므로 $f ( x ) = a ( x - 1 ) ^{2} + b$ $f' ( x ) = 2 a ( x - 1 )$이고, $f ( 4 ) = f' ( 4 )$이므로 $b = - 3 a$이고 $f ( x ) = a \left\{ ( x - 1 ) ^{2} - 3 \right\}$ $a < 0$이면 함수 $\left| g ( x ) + k \right|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 $k$의 최댓값은 존재하지만 최솟값은 존재하지 않으므로 $a > 0$ 그러므로 $- e ^{2}$는 함수 $g ( x )$의 극솟값이다. $g' ( x ) = e ^{x} f ( x ) + e ^{x} f' ( x )$ $= a e ^{x} \left( x - 2 \right) ( x + 2 )$ 이므로 함수 $g ( x )$는 $x = 2$에서 극솟값을 가진다. $g ( 2 ) = - 2 ae ^{2} = - e ^{2}$이므로 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ 따라서 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} \left\{ ( x - 1 ) ^{2} - 3 \right\}$이므로 $\displaystyle f ( 3 ) = \frac{1}{2}$