절댓값 적분함수 극값

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수의 극댓값과 극솟값을 구하는 문제를 해결한다. (ⅰ) $0 < x \leq 1$일 때,

그림에서 $0 < t \leq x$일 때, $f ( x ) \geq f ( t )$이므로 $g ( x )$$\displaystyle = \int _{0} ^{x} {\left| f ( x ) - f ( t ) \right| dt}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{x} {\left\{ f ( x ) - f ( t ) \right\} dt}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{x} {\left( e ^{x} - e ^{t} \right) dt}$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} te ^{x} - e ^{t} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{0} ^{x}$ $= xe ^{x} - e ^{x} + 1$ $= \left( x - 1 \right) e ^{x} + 1$ (ⅱ) $1 < x < 2$일 때,

그림에서 $0 < t < 2 - x$일 때, $f ( x ) \geq f ( t )$ $2 - x \leq t < x$일 때, $f ( x ) \leq f ( t )$이므로 $g ( x )$$\displaystyle = \int _{0} ^{x} {\left| f ( x ) - f ( t ) \right| dt}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2 - x} {\left\{ f ( x ) - f ( t ) \right\} dt}$$\displaystyle + \int _{2 - x} ^{x} {\left\{ f ( t ) - f ( x ) \right\} dt}$ 위의 (ⅰ)에 의하여 $\displaystyle \int _{0} ^{2 - x} {\left\{ f ( x ) - f ( t ) \right\} dt}$$= \left( 2 - x - 1 \right) e ^{2 - x} + 1$ $= \left( 1 - x \right) e ^{2 - x} + 1$ 한편, 함수 $y = e ^{2 - x}$의 그래프는 함수 $y = e ^{x}$의 그래프와 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \int _{2 - x} ^{x} {\left\{ f ( t ) - f ( x ) \right\} dt}$ $\displaystyle = 2 \int _{1} ^{x} {\left\{ f ( t ) - f ( x ) \right\} dt}$ $\displaystyle = 2 \int _{1} ^{x} {\left( e ^{2 - t} - e ^{2 - x} \right) dt}$ $\displaystyle = 2 \left[ \begin{array}{l} - e ^{2 - t} - te ^{2 - x} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{1} ^{x}$ $= 2 \left\{ \left( - e ^{2 - x} - xe ^{2 - x} \right) - \left( - e - e ^{2 - x} \right) \right\}$ $= 2 e - 2 x e ^{2 - x}$ 따라서 $g ( x )$$= \left( 1 - x \right) e ^{2 - x} + 1$$+ 2 e - 2 x e ^{2 - x}$ $= \left( 1 - 3 x \right) e ^{2 - x} + 2 e + 1$ 위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} \left( x - 1 \right) e ^{x} + 1 _{{} _{}} ^{{} ^{}} & & {} _{{} _{}} ^{{} ^{}} \left( 0 < x \leq 1 \right) \\ \left( 1 - 3 x \right) e ^{2 - x} + 2 e + 1 _{{} _{}} ^{{} ^{{} _{}}} & & {} _{{} _{}} ^{{} ^{}} \left( 1 < x < 2 \right) \end{cases}}$이므로 $\displaystyle g' ( x ) = {\begin{cases} xe ^{x} _{{} _{}} {}^{{} ^{}} & & {} _{{} _{}} ^{{} ^{}} \left( 0 < x < 1 \right) \\ \left( 3 x - 4 \right) e ^{2 - x} _{{} _{}} {}^{{} ^{}} & & {} _{{} _{}} ^{{} ^{}} \left( 1 < x < 2 \right) \end{cases}}$ 함수 $g ( x )$의 증가와 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

(극댓값)$= g ( 1 )$$= \left( 1 - 1 \right) e + 1$$= 1$ (극솟값)$\displaystyle = g \left( \frac{4}{3} \right)$$\displaystyle = \left( 1 - 4 \right) e ^{\frac{2}{3}} + 2 e + 1$$\displaystyle = 2 e - 3 e ^{\frac{2}{3}} + 1$ 함수 $g ( x )$의 극댓값과 극솟값의 차는 $\displaystyle 1 - \left( 2 e - 3 e ^{\frac{2}{3}} + 1 \right)$$\displaystyle = \mathit{-} 2 e + 3 e ^{\frac{2}{3}}$$\displaystyle = \mathit{-} 2 e + 3 \sqrt[3]{e ^{2}}$ $a = \mathit{-} 2$, $b = 3$이므로 $\left( ab \right) ^{2}$$= 36$