절댓값 적분 최솟값

[출제의도] 곡선의 오목과 볼록을 이용하여 정적분의 값을 구하는 문제를 해결한다. 조건 (가)에서 곡선 $y = f ( x )$는 구간 $\displaystyle \left( 0 , \frac{\pi}{2} \right)$에서 아래로 볼록이고, 구간 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2} , \pi \right)$에서 위로 볼록이므로 점 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2} , f \left( \frac{\pi}{2} \right) \right)$는 곡선 $y$$= f ( x )$의 변곡점이다.

조건 (나)에 의하여 $n \pi < x \leq ( n + 1 ) \pi$에서 곡선의 모양은 다음 두 가지 중 하나이다.

$0 < x < 4 \pi$에서 곡선 $y$$= f ( x )$의 변곡점의 개수가 $6$인 경우는 다음과 같다. (ⅰ) 함수 $y$$= f ( x )$가 $x$$= \pi$에서 극대일 때

위 그림에서 곡선 $y$$= f ( x )$의 변곡점은 $x$ 좌표가 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle \frac{3}{2} \pi$, $2 \pi$, $\displaystyle \frac{5}{2} \pi$, $3 \pi$, $\displaystyle \frac{7}{2} \pi$인 점이다. $\displaystyle \int _{0} ^{4 \pi} {\left| f \left( x \right) \right| dx}$$\displaystyle = 4 \int _{0} ^{\pi} {f ( x ) dx} + \pi \times 2$ $\displaystyle = 4 \int _{0} ^{\pi} {( 1 - \cos x ) dx} + 2 \pi$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} x - \sin x \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{0} ^{\pi} + 2 \pi$$= 6 \pi$ (ⅱ) 함수 $y$$= f ( x )$가 $x$$= 2 \pi$에서 극대일 때

위 그림에서 곡선 $y$$= f ( x )$의 변곡점은 $x$ 좌표가 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\displaystyle \frac{3}{2} \pi$, $\displaystyle \frac{5}{2} \pi$, $3 \pi$, $\displaystyle \frac{7}{2} \pi$인 점이다. $\displaystyle \int _{0} ^{4 \pi} {\left| f \left( x \right) \right| dx}$$\displaystyle = 4 \int _{0} ^{\pi} {f ( x ) dx} + 2 \pi \times 2$$= 8 \pi$ (ⅲ) 함수 $y$$= f ( x )$가 $x$$= 3 \pi$에서 극대일 때

위 그림에서 곡선 $y$$= f ( x )$의 변곡점은 $x$ 좌표가 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\displaystyle \frac{3}{2} \pi$, $2 \pi$, $\displaystyle \frac{5}{2} \pi$, $\displaystyle \frac{7}{2} \pi$인 점이다. $\displaystyle \int _{0} ^{4 \pi} {\left| f \left( x \right) \right| dx}$$\displaystyle = 4 \int _{0} ^{\pi} {f ( x ) dx} + 2 \pi \times 5$$= 14 \pi$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 최솟값은 $6 \pi$이다.