절댓값 합성 삼차함수

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-다항함수의 미분법 $f ( x ) = x ^{3} - 12 x ^{2} + 36 x + 1$에서 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 24 x + 36 = 3 ( x - 2 ) ( x - 6 )$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = 2$ 또는 $x = 6$이고, $f ( 2 ) = 33$, $f ( 6 ) = 1$이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

곡선 $y = f ( x )$를 $x$축의 방향으로 $- a$만큼 평행이동한 곡선은 $y = f ( x + a )$이고, 곡선 $y = f ( x + a )$에서 $x < 0$의 부분을 지우고 $x \geq 0$인 부분과 $y$축에 대하여 대칭이 되도록 $x < 0$인 부분에 곡선을 그리면 이 곡선이 $y = f ( \left| x \right| + a )$이다. 따라서 상수 $a$의 값에 따른 함수 $y = g ( x )$는 다음과 같다. (ⅰ) $- a > - 2$, 즉 $a < 2$일 때, 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 [그림1]과 같으므로 극값을 갖는 $x$의 개수는 5이고, 미분가능하지 않은 실수 $x$의 개수는 1이다. (ⅱ) $- a = - 2$, 즉 $a = 2$일 때, 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 [그림2]와 같으므로 극값을 갖는 $x$의 개수는 3이고, 미분가능하지 않은 실수 $x$는 없다. (ⅲ) $- 6 < - a < - 2$, 즉 $2 < a < 6$일 때, 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 [그림3]과 같으므로 극값을 갖는 $x$의 개수는 3이고, 미분가능하지 않은 실수 $x$의 개수는 1이다. (ⅳ) $- a = - 6$, 즉 $a = 6$일 때, 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 [그림4]와 같으므로 극값을 갖는 $x$의 개수는 1이고, 미분가능하지 않은 실수 $x$는 없다. (ⅴ) $- a < - 6$, 즉 $a > 6$일 때, 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 [그림5]와 같으므로 극값을 갖는 $x$의 개수는 1이고, 미분가능하지 않은 실수 $x$의 개수는 1이다.

따라서 (ⅰ)~(ⅴ)에서 조건을 만족하는 $a$의 값의 범위는 $2 < a < 6$이므로 정수 $a$의 최솟값은 $m = 3$ $a = 3$일 때, 함수 $g ( x ) = f ( \left| x \right| + 3 )$의 극솟값은 $g ( 3 ) = f ( 6 ) = 1$이고 극댓값은 $g ( 0 ) = f ( 3 ) = 28$이므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 $h ( t )$는 $\displaystyle h ( t ) = {\begin{cases} \begin{aligned} 0 ( t < 1 ) \\ 2 ( t = 1 ) \\ 4 ( 1 < t < 28 ) \\ 3 ( t = 28 ) \end{aligned} & \\ 2 ( t > 28 ) & \end{cases}}$ $\displaystyle h ( g ( t ) ) = {\begin{cases} \begin{aligned} 0 ( g ( t ) < 1 ) \\ 2 ( g ( t ) = 1 ) \\ 4 ( 1 < g ( t ) < 28 ) \\ 3 ( g ( t ) = 28 ) \end{aligned} & \\ 2 ( g ( t ) > 28 ) & \end{cases}}$ $\cdots$㉠ 이때 직선 $y = 1$과 곡선 $y = g ( x )$가 만나는 점의 $x$좌표는 -3, 3이고, 직선 $y = 28$과 곡선 $y = g ( x )$가 만나는 점의 $x$좌표는 $- \alpha , 0 , \alpha$ $( \alpha > 0 )$ 으로 놓을 수 있다. 이때 $- \alpha < - 3 < 0 < 3 < \alpha$ 이므로 ㉠에서 함수 $( h \circ g ) ( t )$는 다음과 같다. $\displaystyle ( h \circ g ) ( t ) = {\begin{cases} \begin{aligned} 2 ( t < - \alpha ) \\ 3 ( t = - \alpha ) \\ 4 ( - \alpha < t < - 3 ) \\ 2 ( t = - 3 ) \\ 4 ( - 3 < t < 0 ) \\ 3 ( t = 0 ) \\ 4 ( 0 < t < 3 ) \\ 2 ( t = 3 ) \\ 4 ( 3 < t < \alpha ) \\ 3 ( t = \alpha ) \end{aligned} & \\ 2 ( t > \alpha ) & \end{cases}}$ 따라서 함수 $( h \circ g ) ( t )$가 불연속인 모든 실수 $t$를 작은 수부터 순서대로 나열하면 $p _{1} = - \alpha$, $p _{2} = - 3$, $p _{3} = 0$, $p _{4} = 3$, $p _{5} = \alpha$ 이므로 $n = 5$, $p _{n - 1} = p _{4} = 3$ 한편, $\displaystyle \frac{p _{1} + p _{2}}{2} = \frac{- \alpha - 3}{2}$이고 $\displaystyle - \alpha < \frac{- \alpha - 3}{2} < - 3$이므로 $\displaystyle ( h \circ g ) \left( \frac{p _{1} + p _{2}}{2} \right) = 4$ 따라서 $\displaystyle n + p _{n - 1} + ( h \circ g ) \left( \frac{p _{1} + p _{2}}{2} \right) = 5 + 3 + 4 = 12$