절댓값 함수 넓이 최대

함수 $y = - f \left( x \right)$의 그래프에 접하는 직선 중 기울기가 $1$인 직선의 $y$절편을 $t _{1}$이라 하자. $- p < t < 0$ 또는 $t \geq t _{1}$일 때 [그림$1$], [그림$2$]와 같이 $\alpha \left( t \right) \leq x \leq \beta \left( t \right)$인 모든 실수 $x$에 대하여 $\left| f \left( x \right) \right| \leq x + t$이므로 $\displaystyle g \left( t \right) = \int _{\alpha \left( t \right)} ^{\beta \left( t \right)} \left\{ \left| f \left( x \right) \right| - \left( x + t \right) \right\} dx \leq 0$

그러므로 함수 $g \left( t \right)$는 $0 \leq t < t _{1}$에서 최댓값 $\displaystyle \frac{1}{2}$을 갖는다. $t = 0$일 때의 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = x + t$의 개형은 [그림$3$]과 같고, 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = x$로 둘러싸인 $2$개 영역의 넓이를 각각 $S _{1}$, $S _{2}$라 하면 $g \left( 0 \right) = S _{1} - S _{2}$

$0 < t < t _{1}$일 때의 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = x + t$의 개형은 [그림$4$]와 같고, 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = x + t$로 둘러싸인 $3$개 영역의 넓이를 각각 $A$, $B$, $C$라 하면 $g \left( t \right) = - A + B - C$

$0 < t < t _{1}$인 모든 실수 $t$에 대하여 $B < S _{1}$, $C > S _{2}$이므로 $- A + B - C < B - C < S _{1} - S _{2}$ 그러므로 $0 \leq t < t _{1}$인 모든 실수 $t$에 대하여 $g \left( t \right) \leq g \left( 0 \right)$이며 $\displaystyle g \left( 0 \right) = \frac{1}{2}$ 방정식 $\left| f \left( x \right) \right| = x$의 해가 $0$, $p - 1$, $p + 1$이므로 $\alpha \left( 0 \right) = 0$, $\beta \left( 0 \right) = p + 1$ $g \left( 0 \right)$$\displaystyle = \int _{\alpha \left( 0 \right)} ^{\beta \left( 0 \right)} \left( \left| f \left( x \right) \right| - x \right) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{p + 1} \left| f \left( x \right) \right| dx - \int _{0} ^{p + 1} x dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{p} \left( - f \left( x \right) \right) dx + \int _{p} ^{p + 1} f \left( x \right) dx - \int _{0} ^{p + 1} x dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{p} \left( - x ^{2} + px \right) dx + \int _{p} ^{p + 1} \left( x ^{2} - px \right) dx - \frac{\left( p + 1 \right) ^{2}}{2}$ $\displaystyle = \frac{p ^{3} - 3 p ^{2} - 3 p - 1}{6} = \frac{1}{2}$ $p ^{3} - 3 p ^{2} - 3 p - 4 = \left( p - 4 \right) \left( p ^{2} + p + 1 \right) = 0$ 따라서 $p = 4$