절댓값 함수 미분가능

함수 $f \left( x \right)$가 $x = 1$에서 미분가능하므로 $x = 1$에서 연속이다. 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} f \left( x \right) = f \left( 1 \right)$에서 $\left| 1 - a + b \right| = 27$ $\therefore$ $1 - a + b = 27$ 또는 $1 - a + b = - 27$, 즉 $- a + b = 26$ 또는 $- a + b = - 28$ 함수 $f \left( x \right)$가 $x = 1$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \frac{f \left( 1 + h \right) - f \left( 1 \right)}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \frac{- \left( 1 + h \right) ^{2} + 11 \left( 1 + h \right) + 17 - 27}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \frac{- h ^{2} + 9 h}{h} = 9$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ (ⅰ) $1 - a + b = 27$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} \left( x ^{3} - ax + b \right) = 27 > 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} \frac{f \left( 1 + h \right) - f \left( 1 \right)}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} \frac{\left( 1 + h \right) ^{3} - a \left( 1 + h \right) + b - 27}{h}$ 이때 $1 - a + b = 27$에서 $b - 27 = a - 1$이므로 위 식에 대입하면 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} \frac{h ^{3} + 3 h ^{2} + \left( 3 - a \right) h}{h} = 3 - a$ ㉠에 의하여 $3 - a = 9$ $\therefore$ $a = - 6$ 이를 $- a + b = 26$에 대입하면 $b = 20$ 이때 $x < 1$에서 $f \left( x \right) = \left| x ^{3} + 6 x + 20 \right|$ $h \left( x \right) = x ^{3} + 6 x + 20$이라 하면 $h \left( x \right) = \left( x + 2 \right) \left( x ^{2} - 2 x + 10 \right) = \left( x + 2 \right) \left\{ \left( x - 1 \right) ^{2} + 9 \right\}$ 방정식 $h \left( x \right) = 0$의 실근은 $x = - 2$뿐이고, $h' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 6$에서 $h' \left( - 2 \right) = 18 \neq 0$이므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = - 2$에서 미분가능하지 않다. 따라서 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다는 조건에 모순이다. (ⅱ) $1 - a + b = - 27$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} \left( x ^{3} - ax + b \right) = - 27 < 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} \frac{f \left( 1 + h \right) - f \left( 1 \right)}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} \frac{- \left( 1 + h \right) ^{3} + a \left( 1 + h \right) - b - 27}{h}$ 이때 $1 - a + b = - 27$에서 $- b - 27 = 1 - a$이므로 위 식에 대입하면 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} \frac{- h ^{3} - 3 h ^{2} + \left( - 3 + a \right) h}{h} = - 3 + a$ ㉠에 의하여 $- 3 + a = 9$ $\therefore$ $a = 12$ 이를 $- a + b = - 28$에 대입하면 $b = - 16$ 이때 $x < 1$에서 $f \left( x \right) = \left| x ^{3} - 12 x - 16 \right|$ $h \left( x \right) = x ^{3} - 12 x - 16$이라 하면 $h \left( x \right) = \left( x + 2 \right) ^{2} \left( x - 4 \right)$ 이때 $x < 1$에서 $\left( x + 2 \right) ^{2} \geq 0$, $x - 4 < 0$이므로 $h \left( x \right) \leq 0$ 즉 $x < 1$에서 $f \left( x \right) = - \left( x + 2 \right) ^{2} \left( x - 4 \right)$이므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x < 1$에서 미분가능하다. 이때 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 1$에서 미분가능하고, $x > 1$에서 $f \left( x \right) = - x ^{2} + 11 x + 17$은 다항함수이므로 미분가능하다. 따라서 함수 $f \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $x < 1$일 때 $f \left( x \right) = - \left( x + 2 \right) ^{2} \left( x - 4 \right)$이므로 $f \left( - 1 \right) = - \left( - 1 + 2 \right) ^{2} \left( - 1 - 4 \right) = 5$