절댓값 함수 극값

$p \left( x \right) = f \left( x \right) - g \left( x \right)$라 하자. $h \left( x \right) = f \left( x \right) + \left| p \left( x \right) \right|$ 함수 $h \left( x \right)$는 $p \left( x \right) \neq 0$인 모든 실수 $x$에서 미분가능하다. 조건 (가)에 의하여 $p \left( - 1 \right) = 0$, $p' \left( - 1 \right) \neq 0$ $\displaystyle p \left( x \right) = - \frac{1}{2} x ^{3} - \frac{1}{2} ax ^{2} + b$ $\displaystyle p \left( - 1 \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} a + b = 0$, $\displaystyle b = \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$ $\displaystyle p' \left( x \right) = - \frac{3}{2} x ^{2} - ax$ $\displaystyle p' \left( - 1 \right) = - \frac{3}{2} + a \neq 0$, $\displaystyle a \neq \frac{3}{2}$ $\displaystyle p \left( x \right) = - \frac{1}{2} \left( x + 1 \right) \left\{ x ^{2} + \left( a - 1 \right) x - \left( a - 1 \right) \right\}$에서 $\displaystyle a \neq \frac{3}{2}$이므로 $x$에 대한 방정식 $x ^{2} + \left( a - 1 \right) x - \left( a - 1 \right) = 0$은 $- 1$을 근으로 갖지 않는다. $x$에 대한 방정식 $x ^{2} + \left( a - 1 \right) x - \left( a - 1 \right) = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = \left( a - 1 \right) ^{2} + 4 \left( a - 1 \right) = \left( a - 1 \right) \left( a + 3 \right)$ $D > 0$이면 조건 (가)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $D \leq 0$, $- 3 \leq a \leq 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle h \left( x \right) = \begin{cases} - \frac{1}{3} x ^{3} + a - 1 & & \left( x \leq - 1 \right) \\ \frac{2}{3} x ^{3} + ax ^{2} & & \left( x > - 1 \right) \end{cases}$ $\displaystyle h' \left( x \right) = \begin{cases} - x ^{2} & & \left( x < - 1 \right) \\ 2 x ^{2} + 2 ax & & \left( x > - 1 \right) \end{cases}$ 조건 (나)에 의하여 함수 $h \left( x \right)$는 $x = 0$에서 극대이므로 $a < 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 함수 $h \left( x \right)$는 $x = - 1$, $x = - a$에서 극소이므로 $\alpha = - 1$, $\beta = - a$ $\displaystyle h \left( \alpha \right) = h \left( - 1 \right) = \frac{1}{3} + a - 1 = a - \frac{2}{3}$ $\displaystyle h \left( \beta \right) = h \left( - a \right) = \frac{1}{3} a ^{3}$ $h \left( \alpha \right) \geq h \left( \beta \right)$, $\displaystyle a - \frac{2}{3} \geq \frac{1}{3} a ^{3}$ $\left( a - 1 \right) ^{2} \left( a + 2 \right) \leq 0$ $a = 1$ 또는 $a \leq - 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 $- 3 \leq a \leq - 2$ $\displaystyle b = \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle a + b = \frac{3}{2} a - \frac{1}{2}$ $\displaystyle M = \frac{3}{2} \times \left( - 2 \right) - \frac{1}{2} = - \frac{7}{2}$ $\displaystyle m = \frac{3}{2} \times \left( - 3 \right) - \frac{1}{2} = - 5$ 따라서 $\displaystyle M - m = - \frac{7}{2} - \left( - 5 \right) = \frac{3}{2}$