절댓값 함수 극댓값과 적분

[출제의도] 함수의 그래프 이해하기 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} ( x _{{} _{}} - 1 ) ( x _{{} _{}} - a ) & ( x \geq a ) _{{} _{}} \\ - ( x - 1 ) ( x - a ) & ( x < a ) \end{cases}}$ 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

함수 $f ( x )$의 극댓값이 $1$이므로 그래프의 개형은 (ⅲ)과 같아야 하고, 극댓값을 갖는 $x$의 값은 $\displaystyle \frac{a + 1}{2}$ $\displaystyle f \left( \frac{a + 1}{2} \right) = {\mathrm{-}} \left( \frac{a + 1}{2} - 1 \right) \left( \frac{a + 1}{2} - a \right) = 1$ $\displaystyle \frac{( a - 1 ) ^{2}}{4} = 1$, $a > 1$이므로 $a = 3$ 그림과 같이 영역 $S _{1}$의 넓이와 영역 $S _{2}$의 넓이가 같으므로

$\displaystyle \int _{0} ^{4} {f ( x ) dx} = \int _{1} ^{3} \left\{ - ( x - 1 ) ( x - 3 ) \right\} dx$ $\displaystyle = \left[ - \frac{1}{3} x ^{3} + 2 x ^{2} - 3 x \right] _{1} ^{3} = \frac{4}{3}$