절댓값 곡선과 직선이 둘러싼 넓이

곡선 $y = \left| x ^{2} - 2 x \right|$와 직선 $y = 3$의 교점의 $x$좌표를 구하면 $\left| x ^{2} - 2 x \right| = 3$에서 (ⅰ) $x ^{2} - 2 x = 3$일 때 $x ^{2} - 2 x - 3 = 0$, $\left( x + 1 \right) \left( x - 3 \right) = 0$ $\therefore x = - 1$ 또는 $x = 3$ (ⅱ) $x ^{2} - 2 x = - 3$일 때 $x ^{2} - 2 x + 3 = 0$ 이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = \left( - 1 \right) ^{2} - 1 \times 3 = - 2 < 0$ 이므로 실근을 갖지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 교점의 $x$좌표는 $- 1$, $3$이다.

따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \int _{- 1} ^{3} \left( 3 - \left| x ^{2} - 2 x \right| \right) dx$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{0} {} \left\{ 3 - \left( x ^{2} - 2 x \right) \right\} dx + \int _{0} ^{2} {} \left\{ 3 - \left( - x ^{2} + 2 x \right) \right\} dx$ $\displaystyle + \int _{2} ^{3} {} \left\{ 3 - \left( x ^{2} - 2 x \right) \right\} dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{1}{3} x ^{3} + x ^{2} + 3 x \end{array} \right] _{- 1} ^{0}$$\displaystyle + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{3} x ^{3} - x ^{2} + 3 x \end{array} \right] _{0} ^{2}$ $\displaystyle + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{1}{3} x ^{3} + x ^{2} + 3 x \end{array} \right] _{2} ^{3}$ $\displaystyle = 0 - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right)$$\displaystyle + \left( \frac{8}{3} - 4 + 6 \right) - 0$$\displaystyle + \left( - 9 + 9 + 9 \right) - \left( - \frac{8}{3} + 4 + 6 \right)$ $\displaystyle = \frac{5}{3} + \frac{14}{3} + \frac{5}{3}$$= 8$