절댓값 도함수 조건 삼차함수

[출제의도] 미분의 성질을 활용하여 문제를 해결한다. 조건 (가)에서 $f ( 0 )$$= 0$이고 $g ( 0 )$$= 0$이므로 $g ( x )$$= f ( x ) + \left| f' ( x ) \right|$에서 $f' ( 0 )$$= 0$ $f ( x )$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로 $f ( x )$$= x \left( x ^{2} + ax + b \right)$($a$, $b$는 상수)로 놓으면 $f' ( x )$$= \left( x ^{2} + ax + b \right) + x ( 2 x + a )$에서 $f' ( 0 )$$= b$$= 0$ 그러므로 $f ( x )$$= x ^{2} ( x + a )$, $f' ( x )$$= x ( 3 x + 2 a )$ $f' ( x )$$= 0$에서 $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{2}{3} a$ 조건 (나)에서 $- a > 0$이므로 $\displaystyle - \frac{2}{3} a > 0$ 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면

이고, 함수 $f ( x )$의 그래프를 그리면 다음과 같다.

조건 (다)에서 $\displaystyle \left| f \left( - \frac{2}{3} a \right) \right|$$= 4$이므로 $\displaystyle f \left( - \frac{2}{3} a \right)$$\displaystyle \frac{= \mathit{4}}{27} a ^{3}$$= \mathit{-} 4$이고 $a ^{3}$$= \mathit{-} 27$에서 $a$$= \mathit{-} 3$ 그러므로 $f ( x )$$= x ^{2} ( x - 3 )$이고 $g ( x )$$= x ^{2} ( x - 3 ) + \left| 3 x ( x - 2 ) \right|$ 따라서 $g ( 3 )$$= 9$