절댓값 도함수 적분 함수

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 모든 실수 $t$에 대해서 $\left| f' \left( t \right) \right| \geq 0$이고, $\displaystyle g \left( a \right) = \int _{0} ^{a} {\left| f' \left( t \right) \right| dt}$$= - 8 < 0$이므로 $a < 0$ $x \geq - 3$에서 $\left| f' \left( x \right) \right| \geq 0$이므로 함수 $\displaystyle g \left( x \right) = \int _{0} ^{x} {\left| f' \left( t \right) \right| dt}$는 증가한다. 삼차함수 $f \left( x \right)$는 $x =$$- 3$과 $x = a$$\left( a > - 3 \right)$에서 극값을 가지므로 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 양수이면 $x < - 3$에서 $f \left( x \right)$는 증가한다. 이때, 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 증가하므로 극솟값을 갖지 않는다. 따라서 삼차함수 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수는 음수이다.

(ⅰ) $x < - 3$일 때, $g \left( x \right) = f \left( x \right)$ (ⅱ) $- 3 \leq x < a$일 때, $g \left( x \right)$$=$$\displaystyle \int _{0} ^{a} {\left\{ - f' \left( t \right) \right\} dt} + \int _{a} ^{x} {f' \left( t \right)} dt$$= f \left( x \right) + f \left( 0 \right) - 2 f \left( a \right)$ (ⅲ) $x \geq a$일 때, $g \left( x \right)$$=$$\displaystyle \int _{0} ^{x} {\left\{ - f' \left( t \right) \right\}} dt = - f \left( x \right) + f \left( 0 \right)$ 함수 $g \left( x \right)$는 $x = - 3$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3 -} {g \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow - 3 -} {f \left( x \right)} = f \left( - 3 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3 +} {g \left( x \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - 3 +} {\left\{ f \left( x \right) + f \left( 0 \right) - 2 f \left( a \right) \right\}}$$= f \left( - 3 \right) + f \left( 0 \right) - 2 f \left( a \right)$ $f \left( - 3 \right) = f \left( - 3 \right) + f \left( 0 \right) - 2 f \left( a \right)$ $f \left( 0 \right) = 2 f \left( a \right)$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $g \left( a \right) = - f \left( a \right) + f \left( 0 \right) = - 8$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡을 연립하면 $f \left( 0 \right) = - 16$, $f \left( a \right) = - 8$ $f' \left( x \right)$$= k \left( x + 3 \right) \left( x - a \right)$$= k \left\{ x ^{2} + \left( 3 - a \right) x - 3 a \right\}$ $\left( k < 0 \right)$이라 하면 $\displaystyle f \left( x \right) = k \left( \frac{1}{3} x ^{3} + \frac{3 - a}{2} x ^{2} - 3 ax \right) - 16$ $\displaystyle g \left( - 3 \right) = f \left( - 3 \right) = \frac{9}{2} k \left( a + 1 \right) - 16 = - 16$ $k \ne 0$이므로 $a = - 1$

$\displaystyle \int _{a} ^{4} {\left\{ f \left( x \right) + g \left( x \right) \right\} dx}$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{4} {\left\{ f \left( x \right) + \left( - f \left( x \right) - 16 \right) \right\} dx}$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{4} {\left( - 16 \right) dx} = - 16 \times 5 = - 80$ 따라서 $\displaystyle \left| \int _{a} ^{4} {\left\{ f \left( x \right) + g \left( x \right) \right\} dx} \right| = 80$ (참고) $f \left( x \right) = - 2 x ^{3} - 12 x ^{2} - 18 x - 16$ 함수 $g \left( x \right)$의 그래프의 개형