절댓값 등차수열

[출제의도] 등차수열의 성질을 활용하여 문제 해결하기 $a _{n} = a + \left( n - 1 \right) d$, $b _{n} = a + \left( n - 1 \right) \left( - 2 d \right)$ 조건 (가)에서 $\left| a \right| = \left| a - 12 d \right|$ $a = a - 12 d$ 또는 $a = \mathit{-} a + 12 d$ $d \ne 0$이므로 $a = \mathit{-} a + 12 d$, $a = \mathit{6} d$ $a _{n} = 6 d + \left( n - 1 \right) d = \left( n + 5 \right) d$ $b _{n} = 6 d - 2 \left( n - 1 \right) d = \left( - 2 n + 8 \right) d$ $a$는 양수이므로 $d > 0$ 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > 0$ $1 \leq n \leq 3$일 때, $b _{n} > 0$, $n \geq 4$일 때, $b _{n} \leq 0$이므로 수열 $\left\{ c _{n} \right\}$을 $c _{n} = \left| a _{n} \right| - \left| b _{n} \right|$이라 하면

$1 \leq n \leq 13$일 때 $c _{n} \geq 0$이고 $c _{13} = 0$, $n \geq 14$일 때 $c _{n} < 0$이므로 $S _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \left| a _{k} \right| - \left| b _{k} \right| \right) = \sum\limits _{k = 1} ^{n} c _{k}$의 값이 최대가 되는 $n = 12$ 또는 $n = 13$ $S _{12} = S _{13}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{13} c _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{3} 3 \left( n - 1 \right) d + \sum\limits _{n = 4} ^{13} \left( 13 - n \right) d$ $= 9 d + 45 d$ $= 54 d = 108$, $d = 2$ 수열 $\left\{ c _{n} \right\}$은

$c _{1} = 0$, $c _{2} = 6$, $c _{3} = 12$ $c _{4} = \mathit{-} c _{22}$, $c _{5} = \mathit{-} c _{21}$, $c _{6} = \mathit{-} c _{20}$, $\cdots$, $c _{12} = \mathit{-} c _{14}$, $c _{13} = 0$, $c _{23} = \mathit{-} 20$, $n \geq 24$에서 $c _{n} < 0$이므로 $S _{22}$$= \left( c _{1} + c _{2} + c _{3} \right) + \left( c _{4} + c _{5} + c _{6} + \cdots + c _{22} \right)$ $\mathit{=} \left( 0 + 6 + 12 \right) + 0 = 18$ $S _{23} = S _{22} + c _{23} = 18 + \left( - 20 \right) \mathit{=} \mathit{-} 2$ $n \geq 23$일 때 $S _{n} < 0$ 따라서 $S _{n} \geq 0$을 만족시키는 자연수 $n$의 최댓값 $m = 22$이고 $a _{22} = \left( 22 + 5 \right) \times 2 = 54$