절댓값 방정식 세 실근

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계 이해하기 주어진 방정식 $\left| x ^{2} - 2 \right| = - x + k$가 서로 다른 세 실근을 갖는 경우를 두 함수 $y = \left| x ^{2} - 2 \right|$, $y = - x + k$의 그래프를 이용하여 나타내면 그림과 같다.

$y = \left| x ^{2} - 2 \right|$ $\displaystyle - \sqrt{2}$ $\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle y = - x + \frac{9}{4}$ $\displaystyle y = - x + \sqrt{2}$

(ⅰ) $y = - x + k$의 그래프가 $\displaystyle ( \sqrt{2} , 0 )$을 지날 때 $\displaystyle 0 = - \sqrt{2} + k$ $\therefore$ $\displaystyle k = \sqrt{2}$ (ⅱ) 두 함수 $y = - x ^{2} + 2$, $y = - x + k$의 그래프가 접할 때 $- x ^{2} + 2 = - x + k$ $x ^{2} - x + k - 2 = 0$에서 $D = 1 - 4 k + 8 = 0$ $\therefore$ $\displaystyle k = \frac{9}{4}$ 따라서 모든 실수 $k$의 값의 곱은 $\displaystyle \sqrt{2} \times \frac{9}{4} = \frac{9 \sqrt{2}}{4}$