적분함수의 미분가능성

함수 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 2 \left| \sin 4 x \right| & \left( x < 0 \right) \\ - \sin ax & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}}$일 때 함수 $f \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

함수 $\displaystyle g \left( x \right) = \left| \int _{- a \pi} ^{x} {f \left( t \right) dt} \right|$가 실수 전체에서 미분가능하므로 (ⅰ) $x < 0$일 때 $x < - a \pi$인 경우 $\displaystyle g \left( x \right) = - \int _{- a \pi} ^{x} {f \left( t \right) dt}$, $g' \left( x \right) = - f \left( x \right)$ $- a \pi \leq x < 0$인 경우 $\displaystyle g \left( x \right) = \int _{- a \pi} ^{x} {f \left( t \right) dt}$, $g' \left( x \right) = f \left( x \right)$ 이므로 $- f \left( - a \pi \right) = f \left( - a \pi \right)$, $f \left( - a \pi \right) = 0$ $f \left( x \right) = 2 \left| \sin 4 x \right|$에서 $f \left( - a \pi \right) = 0$이므로 $\displaystyle - a \pi = - \frac{k}{4} \pi$($k$는 자연수), $\displaystyle a = \frac{k}{4}$ (ⅱ) $x \geq 0$일 때 (1) $\displaystyle \int _{- a \pi} ^{\frac{\pi}{a}} {f \left( t \right) dt < 0}$인 경우 $\displaystyle \int _{- a \pi} ^{\alpha} {f \left( t \right) dt = 0}$인 $\alpha$에 대하여 $0 \leq x < \alpha$에서 $\displaystyle g \left( x \right) = \int _{- a \pi} ^{x} {f \left( t \right) dt}$, $g' \left( x \right) = f \left( x \right)$이고 $\displaystyle \alpha \leq x \leq \frac{\pi}{a}$에서 $\displaystyle g \left( x \right) = \int _{- a \pi} ^{\alpha} {f \left( t \right) dt} - \int _{\alpha} ^{x} {f \left( t \right) dt}$, $g' \left( x \right) = - f \left( x \right)$이므로 $f \left( \alpha \right) = - f \left( \alpha \right)$, $f \left( \alpha \right) = 0$ $f \left( \alpha \right) = 0$은 $\displaystyle \int _{- a \pi} ^{\frac{\pi}{a}} {f \left( t \right) dt < 0}$에 모순이다. (2) $\displaystyle \int _{- a \pi} ^{\frac{\pi}{a}} {f \left( t \right) dt \geq 0}$인 경우 $\displaystyle \int _{- a \pi} ^{0} {f \left( t \right) dt}$$\displaystyle \geq - \int _{0} ^{\frac{\pi}{a}} {f \left( t \right) dt}$이므로 $\displaystyle \int _{- a \pi} ^{0} {f \left( t \right) dt}$$\displaystyle = \int _{- a \pi} ^{0} {2 \left| \sin 4 t \right| dt}$$= k$ $\displaystyle - \int _{0} ^{\frac{\pi}{a}} {f \left( t \right) dt}$$\displaystyle = - \int _{0} ^{\frac{\pi}{a}} {\left( - \sin at \right) dt}$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{1}{a} \cos at \end{array} \right] _{0} ^{\frac{\pi}{a}}$ $\displaystyle = \frac{2}{a}$$\displaystyle = \frac{8}{k}$ $\displaystyle k \geq \frac{8}{k}$에서 자연수 $k$의 최솟값은 $3$이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle a = \frac{k}{4}$이고 $k$의 최솟값이 $3$이므로 $a$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{3}{4}$이다.