적분함수 최댓값 합

[출제의도] 여러 가지 적분법을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle f \left( x \right) = \int _{1} ^{x} {\frac{n - \ln t}{t} dt}$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{n - \ln x}{x}$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = e ^{n}$ 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

함수 $f ( x )$는 $x = e ^{n}$에서 최댓값을 가지므로 $\displaystyle g \left( n \right) = f \left( e ^{n} \right) = \int _{1} ^{e ^{n}} {\frac{n - \ln t}{t}} dt$ $n - \ln t = s$라 하면 $\displaystyle \frac{ds}{dt} = \mathit{-} \frac{1}{t}$이고, $t = 1$일 때 $s = n$, $t = e ^{n}$일 때 $s = 0$이므로 $g \left( n \right)$$\displaystyle = \int _{n} ^{0} {( - s ) ds}$$\displaystyle = \left[ - \frac{1}{2} s ^{2} \right] _{n} ^{0}$$\displaystyle = \frac{\mathit{1}}{2} n ^{2}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{12} g \left( n \right) = \mathit{\sum\limits} _{n = 1} ^{12} \frac{n ^{2}}{2} = \mathit{325}$