미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

적분함수 부등식과 최솟값

문제

ab<0ab < 0인 상수 aa, bb에 대하여 함수 f(x)f \left( x \right)는 f(x)=(ax+b)e−x2\displaystyle f \left( x \right) = \left( ax + b \right) e ^{- \frac{x}{2}}이고 함수 g(x)g \left( x \right)는 g(x)=∫0xf(t)dt\displaystyle g \left( x \right) = \int _{0} ^{x} {f \left( t \right) dt}이다. 실수 k(k>0)k ( k > 0 )에 대하여 부등식

g(x)−k≥xf(x)g \left( x \right) - k \geq xf \left( x \right)

를 만족시키는 양의 실수 xx가 존재할 때, 이 xx의 값 중 최솟값을 h(k)h ( k )라 하자. 함수 g(x)g \left( x \right)와 h(k)h \left( k \right)는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 g(x)g \left( x \right)는 극댓값 α\alpha를 갖고 h(α)=2h \left( \alpha \right) = 2이다. (나) h(k)h \left( k \right)의 값이 존재하는 kk의 최댓값은 8e−28 e ^{- 2}이다.

100(a2+b2)100 \left( a ^{2} + b ^{2} \right)의 값을 구하시오. (단, lim⁡x→∞f(x)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {f \left( x \right)} = 0) [4점]

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125

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해설

[출제의도] 정적분으로 나타내어진 함수 추론하기 함수 f(x)f \left( x \right)의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(ⅰ) a>0a > 0 (ⅱ) a<0a < 0

g(x)=∫0xf(t)dt\displaystyle g \left( x \right) = \int _{0} ^{x} {f \left( t \right) dt}에서 g(0)=0g \left( 0 \right) = 0, g′(x)=f(x)g' \left( x \right) = f \left( x \right) 조건 (가)에 의하여 함수 g(x)g \left( x \right)는 x=−ba\displaystyle x = - \frac{b}{a}에서 극댓값 α\alpha를 가지므로 a<0a < 0이고 b>0b > 0이다. g(x)−k≥xf(x)g \left( x \right) - k \geq xf \left( x \right)에서 g(x)−xf(x)≥kg \left( x \right) - xf \left( x \right) \geq k이므로 p(x)=g(x)−xf(x)p \left( x \right) = g \left( x \right) - xf \left( x \right)라 하면 p′(x)=g′(x)−f(x)−xf′(x)=−xf′(x)p' \left( x \right) = g' \left( x \right) - f \left( x \right) - xf' \left( x \right) = - xf' \left( x \right) f′(x)=−12a(x−2+ba)e−x2\displaystyle f' \left( x \right) = - \frac{1}{2} a \left( x - 2 + \frac{b}{a} \right) e ^{- \frac{x}{2}} p′(x)=12ax(x−2+ba)e−x2\displaystyle p' \left( x \right) = \frac{1}{2} ax \left( x - 2 + \frac{b}{a} \right) e ^{- \frac{x}{2}} 조건 (가), (나)를 만족시키는 함수 p(x)p \left( x \right)의 그래프의 개형은 다음과 같다.

g(−ba)=α\displaystyle g \left( - \frac{b}{a} \right) = \alpha, f(−ba)=0\displaystyle f \left( - \frac{b}{a} \right) = 0에 의하여 p(−ba)=g(−ba)−(−ba)f(−ba)=α\displaystyle p \left( - \frac{b}{a} \right) = g \left( - \frac{b}{a} \right) - \left( - \frac{b}{a} \right) f \left( - \frac{b}{a} \right) = \alpha 2=−ba\displaystyle 2 = - \frac{b}{a} p(x)=g(x)−xf(x)≥kp \left( x \right) = g \left( x \right) - xf \left( x \right) \geq k에서 양수 xx의 범위에서 함수 p(x)p \left( x \right)의 최댓값은 h(k)h \left( k \right)의 값이 존재하는 kk의 최댓값이므로 p(4)=8e−2p \left( 4 \right) = 8 e ^{- 2} g(4)g \left( 4 \right)=∫04a(t−2)e−t2dt\displaystyle = \int _{0} ^{4} {a \left( t - 2 \right) e ^{- \frac{t}{2}} dt} =[a(t−2)(−2e−t2)]04−∫04(−2ae−t2)dt\displaystyle = \left[ \begin{array}{ll} a \left( t - 2 \right) \left( \begin{array}{ll} - 2 e _{{\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}}} ^{- \frac{t}{2}} \end{array} \right) \end{array} \right] _{0} ^{4} - \int _{0} ^{4} {\left( \begin{array}{ll} - 2 ae _{{\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}}} ^{- \frac{t}{2}} \end{array} \right) dt} =−4ae−2−4a−[4ae−t2]04\displaystyle = - 4 ae ^{- 2} - 4 a - \left[ \begin{array}{ll} 4 ae _{{\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}}} ^{- \frac{t}{2}} \end{array} \right] _{0} ^{4} =−4ae−2−4a−4ae−2+4a= - 4 ae ^{- 2} - 4 a - 4 ae ^{- 2} + 4 a =−8ae−2= - 8 ae ^{- 2} p(4)p \left( 4 \right)=g(4)−4f(4)= g \left( 4 \right) - 4 f \left( 4 \right)=−8ae−2−4×2ae−2= - 8 ae ^{- 2} - 4 \times 2 ae ^{- 2}=−16ae−2= - 16 ae ^{- 2} −16ae−2=8e−2- 16 ae ^{- 2} = 8 e ^{- 2} 이므로 a=−12\displaystyle a = - \frac{1}{2}, b=1b = 1 따라서 100(a2+b2)=125100 \left( a ^{2} + b ^{2} \right) = 125

태그

#정적분으로 정의된 함수#지수함수#그래프

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