적분으로 정의된 함수 조건

[출제의도] 정적분을 이용하여 추론하기 $f ( x ) = 3 x + a$이므로 $g ( x )$$\displaystyle = \int _{2} ^{x} {} ( t + a ) ( 3 t + a ) dt$ $\displaystyle = \int _{2} ^{x} {( 3 t ^{2} + 4 at + a ^{2} ) dt}$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} + 2 at ^{2} + a ^{2} t \end{array} \right] _{2} ^{x}$ $= x ^{3} + 2 ax ^{2} + a ^{2} x - ( 2 a ^{2} + 8 a + 8 )$ $g ( 2 ) = 0$이므로 $g ( x ) = ( x - 2 ) \left\{ x ^{2} + 2 ( a + 1 ) x + ( a + 2 ) ^{2} \right\}$ $h ( x ) = ( x - 2 ) ( 3 x + a ) \left\{ x ^{2} + 2 ( a + 1 ) x + ( a + 2 ) ^{2} \right\}$ 조건 (가)에 의해 곡선 $y = h ( x )$위의 어떤 점에서의 접선이 $x$축이므로 $h ( k ) = h' ( k ) = 0$을 만족시키는 실수 $k$가 존재한다. 그러므로 다항식 $h \left( x \right)$는 $\left( x - k \right) ^{2}$을 인수로 갖는다. (ⅰ) $k = 2$인 경우 다항식 $h ( x )$가 $( x - 2 ) ^{2}$을 인수로 가지므로 다항식 $3 x + a$가 $3 ( x - 2 )$이거나 다항식 $x ^{2} + 2 ( a + 1 ) x + ( a + 2 ) ^{2}$이 $x - 2$를 인수로 가진다. ($a$) $3 x + a = 3 ( x - 2 )$인 경우 $a = - 6$이므로 $h ( x )$$= ( x - 2 ) ( 3 x - 6 ) ( x ^{2} - 10 x + 16 )$$= 3 ( x - 2 ) ^{3} ( x - 8 )$ 곡선 $y = \left| h ( x ) \right|$는 그림과 같으므로 함수 $h ( x )$는 조건 (나)를 만족시킨다.

이 경우 $h ( - 1 ) = 729$이다. ($b$) 다항식 $x ^{2} + 2 ( a + 1 ) x + ( a + 2 ) ^{2}$이 $x - 2$를 인수로 갖는 경우 $4 + 4 ( a + 1 ) + ( a + 2 ) ^{2}$ $= a ^{2} + 8 a + 12$ $= ( a + 2 ) ( a + 6 ) = 0$ 에서 $a = - 2$ 또는 $a = - 6$ $a = - 6$이면 ($a$)와 같다. $a = - 2$이면 $h ( x )$$= ( x - 2 ) ( 3 x - 2 ) ( x ^{2} - 2 x )$ $= x ( 3 x - 2 ) ( x - 2 ) ^{2}$ 곡선 $y = \left| h ( x ) \right|$는 그림과 같으므로 함수 $h ( x )$는 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) $\displaystyle k = - \frac{a}{3} ( a \ne - 6 )$인 경우 다항식 $h ( x )$가 $\displaystyle \left( x + \frac{a}{3} \right) ^{2}$을 인수로 가지므로 다항식 $x ^{2} + 2 ( a + 1 ) x + ( a + 2 ) ^{2}$이 $\displaystyle x + \frac{a}{3}$를 인수로 가진다. $\displaystyle \frac{1}{9} a ^{2} - \frac{2}{3} a ( a + 1 ) + ( a + 2 ) ^{2}$ $\displaystyle = \frac{4}{9} a ^{2} + \frac{10}{3} a + 4$ $\displaystyle = \frac{2}{9} ( 2 a + 3 ) ( a + 6 )$$= 0$ 에서 $\displaystyle a = - \frac{3}{2}$이므로 $h ( x )$$\displaystyle = ( x - 2 ) \left( 3 x - \frac{3}{2} \right) \left( x ^{2} - x + \frac{1}{4} \right)$ $\displaystyle = 3 \left( x - \frac{1}{2} \right) ^{3} ( x - 2 )$ 곡선 $y = \left| h ( x ) \right|$는 그림과 같으므로 함수 $h ( x )$는 조건 (나)를 만족시킨다.

이 경우 $\displaystyle h ( - 1 ) = \frac{243}{8}$ (ⅲ) $x ^{2} + 2 ( a + 1 ) x + ( a + 2 ) ^{2} = ( x - k ) ^{2}$인 경우 $x ^{2} + 2 ( a + 1 ) x + ( a + 2 ) ^{2} = x ^{2} - 2 kx + k ^{2}$ $a + 1 = - k , ( a + 2 ) ^{2} = k ^{2}$ $( a + 1 ) ^{2} = ( - a - 1 ) ^{2}$에서 $\displaystyle a = - \frac{3}{2}$ $\displaystyle a = - \frac{3}{2}$이면 (ⅱ)와 같다. 따라서 $h ( - 1 )$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{243}{8}$이므로 $p = 8 , q = 243$에서 $p + q = 251$