적분으로 정의된 함수 적분

[출제의도] 여러 가지 함수의 정적분을 활용하여 문제해결하기 $u' \left( x \right) = x , v \left( x \right) = g \left( x \right)$라 하면 $\displaystyle u \left( x \right) = \frac{1}{2} x ^{2} , v' \left( x \right) = g' \left( x \right)$ 조건 (가)에 의하여 $g \left( 1 \right) = 0$, $\displaystyle g' \left( x \right) = \frac{f \left( x ^{2} + 1 \right)}{x}$ $\displaystyle \int _{1} ^{2} {xg \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{2} x ^{2} g \left( x \right) \right] _{1} ^{2} - \int _{1} ^{2} {\frac{1}{2} x ^{2} g' \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = 2 g \left( 2 \right) - \frac{1}{2} g \left( 1 \right) - \int _{1} ^{2} {\left\{ \frac{1}{2} x ^{2} \times \frac{f \left( x ^{2} + 1 \right)}{x} \right\} dx}$ $\displaystyle = 2 \times 3 - \frac{1}{2} \times 0 - \frac{1}{2} \int _{1} ^{2} {xf \left( x ^{2} + 1 \right) dx}$ $x ^{2} + 1 = t$라 하자. $\displaystyle \int _{1} ^{2} {xg \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = 6 - \frac{1}{2} \int _{2} ^{5} {\frac{1}{2} f \left( t \right) dt}$ $\displaystyle = 6 - \frac{1}{4} \times 16 = 2$