적분 수열의 합

[출제의도] 정적분의 성질과 수열의 성질을 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. (가)에서 $\displaystyle \int _{0} ^{x} {f' ( t ) dt} = \sin ^{2} x$이므로 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f' ( x ) = 2 \sin x \cos x = \sin 2 x$이고 $f' ( 0 ) = 0$ $\displaystyle \int _{0} ^{x} {f' ( t ) dt} = \sin ^{2} x$에서 $f ( x ) - f ( 0 ) = \sin ^{2} x$ (나)에 $x = 0$을 대입하면 $\left\{ f' ( 0 ) \right\} ^{2} - f ( 0 ) - 1 = 0$이므로 $f ( 0 ) = - 1$이고 $f ( x ) = \sin ^{2} x - 1$ (ⅰ) $n$이 홀수인 경우 $\displaystyle g ( x ) = f \left( x - \frac{n \pi}{2} \right) + n$ $\displaystyle = \sin ^{2} \left( x - \frac{n \pi}{2} \right) - 1 + n$ $= \cos ^{2} x - 1 + n$ $a _{n} =$$\displaystyle \int _{\frac{n \pi}{2}} ^{\frac{( n + 1 ) \pi}{2}} {} \left\{ g ( x ) - ( - 1 ) ^{n} f ( x ) \right\} dx$ $=$$\displaystyle \int _{\frac{n \pi}{2}} ^{\frac{( n + 1 ) \pi}{2}} {( n - 1 )} dx$ $\displaystyle = \frac{\pi}{2} ( n - 1 )$ (ⅱ) $n$이 짝수인 경우 $\displaystyle g ( x ) = f \left( x - \frac{n \pi}{2} \right) + n$ $\displaystyle = \sin ^{2} \left( x - \frac{n \pi}{2} \right) - 1 + n$ $= \sin ^{2} x - 1 + n$ $a _{n} =$$\displaystyle \int _{\frac{n \pi}{2}} ^{\frac{( n + 1 ) \pi}{2}} {} \left\{ g ( x ) - ( - 1 ) ^{n} f ( x ) \right\} dx$ $=$$\displaystyle \int _{\frac{n \pi}{2}} ^{\frac{( n + 1 ) \pi}{2}} {n} dx$ $\displaystyle = \frac{\pi}{2} n$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{30} a _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{15} a _{2 k - 1} + \sum\limits _{k = 1} ^{15} a _{2 k}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{15} \frac{\pi}{2} \left\{ \left( 2 k - 1 \right) - 1 \right\} + \sum\limits _{k = 1} ^{15} \frac{\pi}{2} ( 2 k )$ $\displaystyle = \pi \sum\limits _{k = 1} ^{15} ( 2 k - 1 )$$= 225 \pi$ 이므로 $p = 225$