적분 합 최솟값

$\displaystyle h ( a ) = \int _{0} ^{a} f ( x ) dx + \int _{a} ^{8} g ( x ) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{a} f ( x ) dx + \int _{0} ^{8} g ( x ) dx - \int _{0} ^{a} g ( x ) dx$ $\displaystyle = 8 + \int _{0} ^{a} ( f ( x ) - g ( x ) ) dx$ 이라 하면 $\displaystyle h' ( a ) = f ( a ) - g ( a ) = \begin{cases} \frac{5}{2} - \frac{10 a}{a ^{2} + 4} - \frac{1}{2} a ( a \leq 4 ) \\ \\ \frac{5}{2} - \frac{10 a}{a ^{2} + 4} + \frac{1}{2} a - 4 ( a > 4 ) \end{cases}$이고 $h ( a )$는 연속함수이고 $h ( 0 ) = 8$이므로 $\displaystyle \begin{aligned} h ( a ) = 8 + \int _{0} ^{a} {} ( f ( x ) - g ( x ) ) dx \\ = {\begin{cases} - \frac{1}{4} a ^{2} + \frac{5}{2} a - 5 \ln ( a ^{2} + 4 ) + 8 + 5 \ln 4 ( a \leq 4 ) \\ \\ \frac{1}{4} a ^{2} - \frac{3}{2} a - 5 \ln ( a ^{2} + 4 ) + 16 + 5 \ln 4 ( a > 4 ) \end{cases}} \end{aligned}$ 이고, 주어진 그래프는 아래와 같다.

따라서 $\displaystyle h ( a ) = \int _{0} ^{a} f ( x ) dx + \int _{a} ^{8} g ( x ) dx$의 최솟값은 $h ( 6 ) = 16 - 5 \ln 10$이다. [다른풀이] $h ( a )$의 함수식을 구하지 않고 그래프 개형을 이용하여 최솟값이 $a = 6$일 때임을 확인하고 아래와 같이 계산할 수 있다. $\displaystyle h ( 6 ) = 8 + \int _{0} ^{6} ( f ( x ) - g ( x ) ) dx$ $\displaystyle = 8 + \int _{0} ^{6} \left( \frac{5}{2} - \frac{10 x}{x ^{2} + 4} - \frac{4 - | x - 4 |}{2} \right) dx$ $\displaystyle = 8 + \int _{0} ^{6} \left( \frac{5}{2} \right) dx - \int _{0} ^{6} \left( \frac{10 x}{x ^{2} + 4} \right) dx - \int _{0} ^{6} \left( \frac{4 - | x - 4 |}{2} \right) dx$ $= 8 + 15 - \left[ 5 \ln ( x ^{2} + 4 ) \right] _{0} ^{6} + 7$ $= 16 - 5 \ln 10$