적분 함수 음이 아닐 조건

$\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} \frac{f ( t )}{| t | + 1} dt$, $\displaystyle g' ( x ) = \frac{f ( x )}{| x | + 1}$, $g ( 0 ) = 0$ (가)에서 $g' ( 2 ) = 0$이므로 $f ( 2 ) = 0$ (나)에서 $f ( 0 ) = 0$ 이어야한다. 따라서 $f ( x ) = x ( x - 2 ) ( x - c )$이고 $\displaystyle g' ( - 1 ) = \frac{f ( - 1 )}{2}$가 최대가 되도록 하려면 $0 < c < 2$이고 $g ( 2 ) \geq 0$ 인 최소의 $c$일 때이다. $\displaystyle \frac{f ( x )}{x + 1} = \frac{x ( x - 2 ) ( x - c )}{x + 1}$$\displaystyle = x ^{2} - ( 3 + c ) x + 3 ( c + 1 ) - \frac{3 ( c + 1 )}{x + 1}$ $\displaystyle g ( 2 ) = \int _{0} ^{2} \left( x ^{2} - ( 3 + c ) x + 3 ( c + 1 ) - \frac{3 ( c + 1 )}{x + 1} \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} x ^{3} - x ^{2} - \frac{1}{2} ( c + 1 ) x ^{2} + 3 ( c + 1 ) x - 3 ( c + 1 ) \ln ( x + 1 ) \right] _{0} ^{2}$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{4}{3} + 4 ( c + 1 ) - 3 ( c + 1 ) \ln 3$$\geq 0$ $\displaystyle 3 ( c + 1 ) \geq \frac{4}{4 - 3 \ln 3}$, $f ( - 1 ) = \mathit{-} 3 ( c + 1 )$$\displaystyle \leq \frac{- 4}{4 - 3 \ln 3}$ $\therefore$ $n = \mathit{-} 4$, $m = 4$, $| m \times n | = 16$