적분 관계식과 합성 방정식

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수를 이용하여 함수를 구하는 문제를 해결한다. 삼차함수 $g ( x )$의 상수항이 $0$이므로 $g ( x )$는 $x$를 인수로 갖는다. $\cdots \cdots$㉠ 조건 (가)의 $\displaystyle x \left| g ( x ) \right| = \int _{2a} ^{x} \left( a - t \right) f ( t ) dt$에 $x = 2 a$를 대입하면 $2 a \left| g ( 2 a ) \right| = 0$ $a$가 양수이므로 $g ( 2 a ) = 0$이고 $g ( x )$는 $\left( x - 2 a \right)$를 인수로 갖는다. $\cdots \cdots$㉡ ㉠，㉡에서 $g ( x ) = x \left( x - 2 a \right) \left( x - b \right)$ (단, $b$는 실수) 함수 $\left( a - x \right) f ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 $\displaystyle \int _{2a} ^{x} \left( a - t \right) f ( t ) dt$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, $\displaystyle \frac{d}{dx} \int _{2 a} ^{x} {} \left( a - t \right) f ( t ) dt$$= \left( a - x \right) f ( x )$이다. 즉, 함수 $x \left| g ( x ) \right|$는 $x = 2 a$에서 미분가능하다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 a +} \frac{x \left| g ( x ) \right| - 2 a \left| g ( 2 a ) \right|}{x - 2 a}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 a +} {} \frac{x \left| x \left( x - 2 a \right) \left( x - b \right) \right|}{x - 2 a}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 a +} {x ^{2} \left| x - b \right|}$ $= 4 a ^{2} \left| 2 a - b \right|$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 a -} {} \frac{x \left| g ( x ) \right| - 2 a \left| g ( 2 a ) \right|}{x - 2 a}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 a -} {} \frac{x \left| x \left( x - 2 a \right) \left( x - b \right) \right|}{x - 2 a}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 a -} {} \left( - x ^{2} \left| x - b \right| \right)$ $= \mathit{-} 4 a ^{2} \left| 2 a - b \right|$ 이므로 $4 a ^{2} \left| 2 a - b \right|$$= \mathit{-} 4 a ^{2} \left| 2 a - b \right|$에서 $b = 2 a$이다. 따라서 $g ( x ) = x \left( x - 2 a \right) ^{2}$ $\displaystyle \int _{2a} ^{x} \left( a - t \right) f ( t ) dt$$\displaystyle = {\begin{cases} - x ^{2} \left( x - 2 a \right) ^{2} & & \left( x < 0 \right) \\ x ^{2} \left( x - 2 a \right) ^{2} & & \left( x {\geq 0 )} \right. \end{cases}}$ 이고 함수 $f ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\left( a - x \right) f ( x )$$\displaystyle = {\begin{cases} - 4 x \left( x - a \right) \left( x - 2 a \right) & & \left( x < 0 \right) \\ 4 x \left( x - a \right) \left( x - 2 a \right) & & \left( x \geq 0 ) \right. \end{cases}}$ $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} 4 x \left( x - 2 a \right) & & \left( x < 0 \right) \\ - 4 x \left( x - 2 a \right) & & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}}$ 방정식 $g ( f ( x ) )$$= 0$에서 $f ( x ) = 0$ 또는 $f ( x ) = 2 a$ 방정식 $f ( x ) = 0$은 서로 다른 두 실근 $0$, $2 a$를 가지므로 조건 (나)에 의해 방정식 $f ( x ) = 2 a$는 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = 2 a$의 교점의 개수가 $2$이어야 하므로 $f ( a )$$= \mathit{-} 4 a \left( a - 2 a \right)$$= 4 a ^{2}$$= 2 a$ $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \int _{-2a} ^{2a} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{-1} ^{1} f ( x ) dx$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{0} {} \left( 4 x ^{2} - 4 x \right) dx + \int _{0} ^{1} {} \left( - 4 x ^{2} + 4 x \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{4}{3} x ^{3} - 2 x ^{2} \right] _{-1} ^{0} + \left[ - \frac{4}{3} x ^{3} + 2 x ^{2} \right] _{0} ^{1}$ $= 4$