제곱의 나머지 수열

[출제의도] 규칙성을 발견할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\left( n + 6 \right) ^{2} = n ^{2} + 12 n + 36$ $= 6 ( 2 n + 6 ) + n ^{2}$ 이므로 $a _{n + 6} = a _{n}$이 성립한다. 또, $a _{1} = 1 , a _{2} = 4 , a _{3} = 3 , a _{4} = 4 , a _{5} = 1 , a _{6} = 0$이므로 $a _{n} = 4$를 만족시키는 자연수 $n$은 $2$ 또는 $n = 6 k \pm 2$ ($k$는 자연수)이다. 따라서 구하는 $100$ 이하의 자연수 $n$은 $2$, $4$, $8$, $10$, …, $94$, $98$, $100$의 $34$개다.