공통수학1이차방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

자연수 근을 갖는 계수 m 구하기

문제

xx에 대한 이차방정식 x2−(m+2)x+2m+6=0x ^{2} - ( m + 2 ) x + 2 m + 6 = 0의 두 근이 모두 자연수일 때, 모든 자연수 mm의 값의 합은? [4점] ①77②99③1414④1616⑤1818

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④

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해설

두 근을 α,β(α≤β)\alpha , \beta ( \alpha \leq \beta )라 하면 근과 계수의 관계에서 α+β=m+2\alpha + \beta = m + 2 ㉠ αβ=2m+6\alpha \beta = 2 m + 6 ㉡ ㉠에서 m=α+β−2m = \alpha + \beta - 2를 ㉡에 대입하면 αβ=2(α+β−2)+6=2α+2β+2\alpha \beta = 2 ( \alpha + \beta - 2 ) + 6 = 2 \alpha + 2 \beta + 2 αβ−2α−2β+4=6\alpha \beta - 2 \alpha - 2 \beta + 4 = 6 (α−2)(β−2)=6( \alpha - 2 ) ( \beta - 2 ) = 6 α,β\alpha , \beta가 자연수이므로 α−2≥−1\alpha - 2 \geq - 1, β−2≥−1\beta - 2 \geq - 1이고 두 수의 곱이 66이 되려면 두 수가 모두 양의 정수이어야 한다. (α−2,β−2)=(1,6),(2,3)( \alpha - 2 , \beta - 2 ) = ( 1 , 6 ) , ( 2 , 3 )에서 (α,β)=(3,8),(4,5)( \alpha , \beta ) = ( 3 , 8 ) , ( 4 , 5 ) (ⅰ) α=3\alpha = 3, β=8\beta = 8일 때 m=α+β−2=9m = \alpha + \beta - 2 = 9 (ⅱ) α=4\alpha = 4, β=5\beta = 5일 때 m=α+β−2=7m = \alpha + \beta - 2 = 7 따라서 모든 자연수 mm의 값의 합은 9+7=169 + 7 = 16이다. 답 ④

태그

#이차방정식#정수근#근과 계수의 관계#인수분해

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