재귀수열 a1의 최댓값

조건 (가)에서 $4 < a _{1} < 5$이므로 $a _{1} = 4 + \alpha \left( 0 < \alpha < 1 \right)$ 이라 하자. $a _{n + 1} = \left| a _{n} \right| - 1$이므로 $a _{1} = 4 + \alpha$, $a _{2} = 3 + \alpha$, $a _{3} = 2 + \alpha$, $a _{4} = 1 + \alpha$, $a _{5} = \alpha$, $a _{6} = \alpha - 1$, $a _{7} = - \alpha$, $a _{8} = \alpha - 1$, $a _{9} = - \alpha$ $\vdots$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} a _{k} = 10 + 5 \alpha$, $\displaystyle 10 < \sum\limits _{k = 1} ^{5} a _{k} < 15$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이고 $n \geq 6$에 대하여 $a _{n} + a _{n + 1} = - 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이때 조건 (나)를 만족시키는 자연수 $n$을 $n = 2 m - 1$ 또는 $n = 2 m$ ($m$은 자연수)로 분류하면 다음과 같다. (ⅰ) $n = 2 m - 1$일 때 ㉠, ㉡에 의하여 $10 + 5 \alpha$의 값은 $11$, $12$, $13$, $14$이다. $10 + 5 \alpha = 11$일 때 $\displaystyle \alpha = \frac{1}{5}$, $\displaystyle a _{1} = \frac{21}{5}$ $10 + 5 \alpha = 12$일 때 $\displaystyle \alpha = \frac{2}{5}$, $\displaystyle a _{1} = \frac{22}{5}$ $10 + 5 \alpha = 13$일 때 $\displaystyle \alpha = \frac{3}{5}$, $\displaystyle a _{1} = \frac{23}{5}$ $10 + 5 \alpha = 14$일 때 $\displaystyle \alpha = \frac{4}{5}$, $\displaystyle a _{1} = \frac{24}{5}$ (ⅱ) $n = 2 m$일 때 ㉠, ㉡에 의하여 $10 + 5 \alpha$의 값은 $11 - \alpha$, $12 - \alpha$, $13 - \alpha$, $14 - \alpha$, $15 - \alpha$ $10 + 5 \alpha = 11 - \alpha$일 때 $\displaystyle \alpha = \frac{1}{6}$, $\displaystyle a _{1} = \frac{25}{6}$ $10 + 5 \alpha = 12 - \alpha$일 때 $\displaystyle \alpha = \frac{1}{3}$, $\displaystyle a _{1} = \frac{13}{3}$ $10 + 5 \alpha = 13 - \alpha$일 때 $\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}$, $\displaystyle a _{1} = \frac{9}{2}$ $10 + 5 \alpha = 14 - \alpha$일 때 $\displaystyle \alpha = \frac{2}{3}$, $\displaystyle a _{1} = \frac{14}{3}$ $10 + 5 \alpha = 15 - \alpha$일 때 $\displaystyle \alpha = \frac{5}{6}$, $\displaystyle a _{1} = \frac{29}{6}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $a _{1}$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{29}{6}$ 따라서 $p = 6$, $q = 29$이므로 $p + q = 35$