자취가 직선인 점과 최소 거리

실마리: 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( x , y )$로 두고 조건을 정리하면 자취가 보인다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} - \overline{\mathrm{PB}} ^{2} = 16$에서 $( x + 2 ) ^{2} + y ^{2} - \left\{ ( x - 6 ) ^{2} + y ^{2} \right\} = 16$ $x ^{2} + 4 x + 4 - x ^{2} + 12 x - 36 = 16$ $16 x = 48$, $x = 3$ 즉 점 $\mathrm{P}$는 직선 $x = 3$ 위를 움직인다.

점 $\mathrm{P} ( 3 , y )$와 점 $\mathrm{C} ( 7 , 5 )$ 사이의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}} = \sqrt{( 7 - 3 ) ^{2} + ( 5 - y ) ^{2}} = \sqrt{16 + ( y - 5 ) ^{2}}$ $y = 5$일 때 최소이고 $\displaystyle m = \sqrt{16} = 4$ 이때 $\mathrm{P} ( 3 , 5 )$이고 삼각형 $\mathrm{PAB}$는 밑변 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 8$, 높이 $5$이므로 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20$ 따라서 $m + S = 4 + 20 = 24$

(검산: $\mathrm{P} ( 3 , 5 )$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} = 25 + 25 = 50$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} ^{2} = 9 + 25 = 34$이고 $50 - 34 = 16$이다.)