이어붙인 함수 적분

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 함수 $g \left( x \right)$는 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} {}_{} f ( x + 1 ) - 1 & \left. ( - 1 \leq x < 0 \right) \\ _{} f \left( x \right) ^{} & \left( 0 \leq x < 1 \right) \\ _{} f \left( x - 1 \right) + 1 ^{} & \left( 1 \leq x < 2 \right) \\ _{} \vdots & \\ _{} f \left( x - 4 \right) + 4 ^{} & \left( 4 \leq x < 5 \right) \end{cases}}$ 이다. 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 1$에서 연속이므로 $\displaystyle g \left( 1 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {g \left( x \right)}$이다. $g \left( 1 \right) = f \left( 0 \right) + 1$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {g \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f \left( x \right)} = f \left( 1 \right) = 1$이므로 $f \left( 0 \right) + 1 = 1$에서 $f \left( 0 \right) = 0$ …… ㉠ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 1$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 1 \right)}{x - 1}} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 1 \right)}{x - 1}}$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 1 \right)}{x - 1}} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{f \left( x - 1 \right) + 1 - g \left( 1 \right)}{x - 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{f \left( x - 1 \right)}{x - 1}} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{f \left( x \right)}{x}} = f' \left( 0 \right)$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 1 \right)}{x - 1}} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1}} = f' \left( 1 \right) = 1$ 이므로 $f' \left( 0 \right) = 1$ …… ㉡ $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수이므로 $f \left( x \right) = x ^{4} + ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d$라 하자. ㉠, ㉡에 의하여 $c = 1 , d = 0$ 조건 (나)에 의하여 $f \left( 1 \right) = 1 + a + b + 1 = 1$ …… ㉢ $f' \left( 1 \right) = 4 + 3 a + 2 b + 1 = 1$ …… ㉣ ㉢, ㉣에 의하여 $a = - 2$, $b = 1$ $f \left( x \right) = x ^{4} - 2 x ^{3} + x ^{2} + x$ $\displaystyle \int _{0} ^{4} {g \left( x \right) dx} = \int _{0} ^{1} {g \left( x \right) dx} + \int _{1} ^{2} {g \left( x \right) dx}$$\displaystyle + \int _{2} ^{3} {g \left( x \right) dx} + \int _{3} ^{4} {g \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = \frac{8}{15} + \left( \frac{8}{15} + 1 \right) + \left( \frac{8}{15} + 2 \right) + \left( \frac{8}{15} + 3 \right)$$\displaystyle = \frac{122}{15}$ 그러므로 $p = 15$, $q = 122$ 따라서 $p + q = 137$