이어 붙인 삼차함수

조건 (가)에 의하여 함수 $g \left( x \right)$는 $x = p$에서 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow p -} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow p -} f \left( x \right) = f \left( p \right)$이고 $g \left( p \right) = kf \left( 0 \right) = 0$이므로 $f \left( p \right) = 0$ $f \left( x \right) = x \left( x - p \right) \left( x - a \right)$ ($a$는 상수)라 하면 $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} x \left( x - p \right) \left( x - a \right) & & \left( x < p \right) \\ k \left( x - p \right) \left( x - 2 p \right) \left\{ x - \left( a + p \right) \right\} & & \left( x \geq p \right) \end{cases}$ $p > 0$이므로 $0$, $p$, $2 p$는 방정식 $g \left( x \right) = 0$의 실근이다. $a = p$ 또는 $a = 0$이면 방정식 $g \left( x \right) = 0$의 서로 다른 실근이 $0$, $p$, $2 p$ 뿐이므로 방정식 $g \left( x \right) = 0$의 서로 다른 모든 실근의 합이 $3 p$가 되어 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅰ) $a > p$일 때 방정식 $g \left( x \right) = 0$의 서로 다른 모든 실근은 $0$, $p$, $2 p$, $a + p$ $0 + p + 2 p + \left( a + p \right) \neq 2 p$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $0 < a < p$일 때 방정식 $g \left( x \right) = 0$의 서로 다른 모든 실근은 $0$, $a$, $p$, $a + p$, $2 p$ $0 + a + p + \left( a + p \right) + 2 p \neq 2 p$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $a < 0$일 때 방정식 $g \left( x \right) = 0$의 서로 다른 모든 실근의 합은 $a + 0 + p + 2 p = a + 3 p$ 조건 (나)에 의하여 $a + 3 p = 2 p$에서 $a = - p$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $a = - p$이며 $f \left( x \right) = x \left( x + p \right) \left( x - p \right)$ 조건 (가)에 의하여 함수 $g \left( x \right)$가 $x = p$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} \frac{g \left( p + h \right) - g \left( p \right)}{h} = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} \frac{\left( p + h \right) h \left( 2 p + h \right)}{h} = 2 p ^{2}$, $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \frac{g \left( p + h \right) - g \left( p \right)}{h}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \frac{kh \left( - p + h \right) \left( p + h \right)}{h}$$= - kp ^{2}$ 에서 $2 p ^{2} = - kp ^{2}$, $k = - 2$ 그러므로 $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} f \left( x \right) & & \left( x < p \right) \\ - 2 f \left( x - p \right) & & \left( x \geq p \right) \end{cases}$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - p ^{2} = 0$에서 $\displaystyle x = - \frac{\sqrt{3}}{3} p$ 또는 $\displaystyle x = \frac{\sqrt{3}}{3} p$ 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

함수 $f \left( x \right)$의 극댓값을 $M$이라 하면 함수 $f \left( x \right)$의 극솟값은 $- M$이다. $k = - 2$이므로 함수 $g \left( x \right)$의 극값 중 가장 큰 값은 $2 M$이며 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 $g \left( x \right)$의 극값 중 가장 큰 값이 $\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}$이므로 $\displaystyle 2 M = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle 2 \times \frac{2 \sqrt{3}}{9} p ^{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$에서 $\displaystyle p = \frac{3}{2}$ 그러므로 $\displaystyle f \left( x \right) = x ^{3} - \frac{9}{4} x$ 따라서 $\displaystyle f \left( 4 \right) = 4 ^{3} - \frac{9}{4} \times 4 = 55$