이어 붙인 함수 적분

[출제의도] 함수의 미분가능성과 연속성을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. $f' ( x ) = 4 x ^{3} + 3 ax ^{2} + 2 bx$ $f' ( 0 ) = 0$이고 함수 $g ( x )$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 조건 (나)와 조건 (다)에 의해 $f' ( 1 ) = 4 + 3 a + 2 b = 0$, $\displaystyle b = - \frac{1}{2} ( 3 a + 4 )$ $f' ( x ) = 4 x ^{3} + 3 ax ^{2} + 2 bx$ $= x \left\{ 4 x ^{2} + 3 ax - ( 3 a + 4 ) \right\}$ $= x ( x - 1 ) ( 4 x + 3 a + 4 ) = 0$ $x = 0$ 또는 $x = 1$ 또는 $\displaystyle x = - \frac{3 a + 4}{4}$ 조건 (가)와 조건 (나)에 의해 $0 \leq x \leq 1$에서 $f' ( x ) \geq 0$이므로 $\displaystyle x = - \frac{3 a + 4}{4} \geq 1$ 에서 $\displaystyle a \leq - \frac{8}{3}$ $g ( 1 ) = f ( 0 ) + k$이고 $\displaystyle \int _{0} ^{3} {} g ( x ) dx$가 최소가 되기 위한 그래프의 개형은 다음과 같다

$\displaystyle \int _{0} ^{1} {} g ( x ) dx$가 최소가 될 때 $\displaystyle \int _{0} ^{3} {} g ( x ) dx$도 최소가 되므로 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {} g ( x ) dx = \int _{0} ^{1} {} f ( x ) dx = \int _{0} ^{1} {} ( x ^{4} + ax ^{3} + bx ^{2} ) dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{5} x ^{5} + \frac{1}{4} ax ^{4} + \frac{1}{3} bx ^{3} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{5} x ^{5} + \frac{1}{4} ax ^{4} - \frac{1}{6} ( 3 a + 4 ) x ^{3} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \frac{1}{5} + \frac{1}{4} a - \frac{1}{2} a - \frac{2}{3}$ $\displaystyle = - \frac{7}{15} - \frac{1}{4} a \geq \frac{1}{5}$ $\displaystyle \left( \text{등호는} a = - \frac{8}{3} \right)$ $\displaystyle \int _{0} ^{1} {} g ( x ) dx$가 최소가 될 때, 그 때의 $a$와 $b$의 값은 각각 $\displaystyle a = - \frac{8}{3}$, $b = 2$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} f ( x ) = f ( 1 ) = 1 + a + b = \frac{1}{3}$ 이고 함수 $g ( x )$는 $x = 1$에서 연속이므로 $\displaystyle k = \frac{1}{3}$ $\displaystyle \int _{0} ^{3} {} g ( x ) dx$가 최소가 될 때 $0 \leq x \leq 3$에서의 함수 $g ( x )$는 다음과 같다. $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} \begin{aligned} x ^{4} - \frac{8}{3} x ^{3} + 2 x ^{2} \\ \\ ( x - 1 ) ^{4} - \frac{8}{3} ( x - 1 ) ^{3} + 2 ( x - 1 ) ^{2} + \frac{1}{3} \\ \end{aligned} & \begin{aligned} ( 0 \leq x < 1 ) \\ \\ \\ ( 1 \leq x < 2 ) \\ \end{aligned} \\ \frac{2}{3} & ( 2 \leq x \leq 3 ) \end{cases}}$

따라서 $\displaystyle \int _{0} ^{3} {} g ( x ) dx \geq \frac{1}{5} + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \right) + \frac{2}{3} = \frac{7}{5}$ 이므로 $\displaystyle 100 \int _{0} ^{3} {} g ( x ) dx$의 최솟값은 $\displaystyle 100 \times \frac{7}{5} = 140$