이등변삼각형이 되는 점이 정확히 세 개일 조건

이등변삼각형이 되는 경우를 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = \overline{\mathrm{CB}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = \overline{\mathrm{AB}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CB}} = \overline{\mathrm{AB}}$ 로 나누어 직선 $y = k$ 위의 점 $\mathrm{C}$ 의 개수를 각각 센다. $\mathrm{C} ( x , k )$ 라 하고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} = ( 5 - 1 ) ^{2} + ( 1 - 3 ) ^{2} = 20$ 이다. (ⅰ) $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = \overline{\mathrm{CB}}$ 인 경우 $( x - 1 ) ^{2} + ( k - 3 ) ^{2} = ( x - 5 ) ^{2} + ( k - 1 ) ^{2}$ 에서 $8 x = 4 k + 16$, $\displaystyle x = \frac{k + 4}{2}$ $k$ 의 값마다 점 $\mathrm{C}$ 는 $1$개이다. 단, $k = 2$ 이면 $\mathrm{C} ( 3 , 2 )$ 는 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점이므로 삼각형이 되지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = \overline{\mathrm{AB}}$ 인 경우 $( x - 1 ) ^{2} + ( k - 3 ) ^{2} = 20$ 에서 $( x - 1 ) ^{2} = 20 - ( k - 3 ) ^{2}$ $20 - ( k - 3 ) ^{2} > 0$, 즉 $( k - 3 ) ^{2} < 20$ 일 때 점 $\mathrm{C}$ 는 $2$개, $( k - 3 ) ^{2} > 20$ 일 때 $0$개이다. $\displaystyle 4 < \sqrt{20} < 5$ 이므로 자연수 $k$ 가 $1$ 이상 $7$ 이하이면 $2$개, $8$ 이상이면 $0$개이다. (ⅲ) $\displaystyle \overline{\mathrm{CB}} = \overline{\mathrm{AB}}$ 인 경우 $( x - 5 ) ^{2} = 20 - ( k - 1 ) ^{2}$ 에서 마찬가지로 자연수 $k$ 가 $1$ 이상 $5$ 이하이면 $2$개, $6$ 이상이면 $0$개이다. $k$ 가 $1$ 이상 $5$ 이하이면 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)의 점을 모두 더하면 $5$개이고, 이 가운데 삼각형이 되지 않는 점은 $k = 1$ 일 때 (ⅱ)의 $\mathrm{C} ( 5 , 1 )$ ($\mathrm{B}$ 와 일치), $k = 2$ 일 때 (ⅰ)의 $\mathrm{C} ( 3 , 2 )$, $k = 3$ 일 때 (ⅲ)의 $\mathrm{C} ( 1 , 3 )$ ($\mathrm{A}$ 와 일치), $k = 5$ 일 때 (ⅱ)의 $\mathrm{C} ( - 3 , 5 )$ (직선 $\mathrm{AB}$ 위의 점) 로 각각 $1$개씩이므로 점 $\mathrm{C}$ 의 개수는 $4$ 또는 $5$이다. $k = 6$ 또는 $k = 7$ 이면 (ⅰ)에서 $1$개, (ⅱ)에서 $2$개, (ⅲ)에서 $0$개이고 어느 점도 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 나 직선 $\mathrm{AB}$ 위의 점이 아니므로 점 $\mathrm{C}$ 의 개수는 $3$이다. $k$ 가 $8$ 이상이면 (ⅰ)의 $1$개뿐이다. 따라서 조건을 만족시키는 자연수 $k$ 는 $6$, $7$ 이고 그 합은 $13$이다.