이등변삼각형 평행선 넓이

[출제의도] 곱셈공식을 활용하여 수학내적문제 해결하기 $\displaystyle \mathrm{\overline{AL _{1}}} = \mathit{a} ( a > 0 )$라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{N} _{1} M _{1}} = \overline{\mathrm{N} _{1} C} = a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AL} _{1}} \cdot \overline{\mathrm{L} _{2} B} = 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{L _{2} B}} = \frac{\mathit{1}}{a} = \mathrm{\overline{L _{2} M _{2}}}$ 또한, $\displaystyle \mathrm{\overline{L _{1} M _{1}}}$과 $\displaystyle \mathrm{\overline{M _{2} N _{2}}}$의 교점을 점$\mathrm{P}$라 하고, $\displaystyle \mathrm{\overline{L _{1} L _{2}}} =$$x$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PM _{2}}} = \overline{\mathrm{PM} _{1}}$$= x$ 평행선의 성질에 의해 $\mathrm{\triangle} ABC$, $\mathrm{\triangle} L _{2} BM _{2}$, $\mathrm{\triangle} PM _{2} M _{1}$, $\mathrm{\triangle} N _{1} M _{1} C$는 모두 닮음이고 닮음비는 $\displaystyle 4 : \frac{1}{a} : x : a$이므로 넓이의 비는 $\displaystyle 16 : \frac{1}{a ^{2}} : x ^{2} : a ^{2}$이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S$, 어두운 부분 전체의 넓이를 $T$라 하면 $S = 2 T$ 이므로 $\displaystyle 16 k = 2 \left( \frac{1}{a ^{2}} + x ^{2} + a ^{2} \right) k$ ($k$는 비례상수) $\displaystyle 8 = \left( a + \frac{1}{a} \right) ^{2} - 2 + x ^{2}$ $8 = \left( 4 - x \right) ^{2} - 2 + x ^{2}$ $x ^{2} - 4 x + 3 = 0$ $\therefore x = 1$또는 $3$ $\displaystyle a + \frac{1}{a} = 4 - x$이고 $a > 0$이므로 $4 - x \geq 2$ 즉, $0 < x \leq 2$이므로 구하는 $x = 1$ $\therefore$$\displaystyle 15 \overline{\mathrm{L} _{1} L _{2}} = 15$