이차함수와 직선 교점

조건 (다)에 의해 점 ${\mathrm{P}}$의 $x$좌표를 $k \left( k > 0 \right)$이라 하면 점 ${\mathrm{Q}}$의 $x$좌표는 $2 k$이므로 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$, $y = x$의 위치 관계는 다음 그림과 같다.

조건 (가)에 의해 이차방정식 $f ( x ) = x$는 $k$, $2 k$를 두 근으로 가지므로 $f \left( x \right) - x = 2 \left( x - k \right) \left( x - 2 k \right)$, $f \left( x \right) = 2 \left( x - k \right) \left( x - 2 k \right) + x$이다. 조건 (나)에 의해 이차방정식 $g \left( x \right) = x$는 $k$를 중근으로 가지므로 $g \left( x \right) - x = - \left( x - k \right) ^{2}$, $g \left( x \right) = - \left( x - k \right) ^{2} + x$이다. 그러므로 $f \left( x \right) + g \left( x \right)$$= 2 \left( x - k \right) \left( x - 2 k \right) + x - \left( x - k \right) ^{2} + x$ $= x ^{2} + 2 \left( 1 - 2 k \right) x + 3 k ^{2}$ 이다. 이차부등식 $x ^{2} + 2 \left( 1 - 2 k \right) x + 3 k ^{2} \geq 0$의 해가 모든 실수이므로 이차방정식 $x ^{2} + 2 \left( 1 - 2 k \right) x + 3 k ^{2} = 0$의 판별식 $\displaystyle \frac{D}{4} = \left( 1 - 2 k \right) ^{2} - 1 \times 3 k ^{2} = k ^{2} - 4 k + 1 \leq 0$이고 $\displaystyle 2 - \sqrt{3} \leq k \leq 2 + \sqrt{3}$이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표의 최댓값은 $\displaystyle 2 + \sqrt{3}$이다.