이차함수와 직선 격자점

이차함수 $f ( x )$의 이차항의 계수를 $k$라 하면 조건 (가), (나)에서 $f ( x ) = k ( x - m ) ^{2} ( k < 0 )$ 조건 (나)에서 $f ( m + 4 ) = 16 k = 32 n$ $k = 2 n$이므로 $f ( x ) = 2 n ( x - m ) ^{2}$ 조건 (나)에서 일차함수 $g ( x )$가 두 점 $( m , 0 )$, $( m + 4 , 32 n )$을 지나므로 $g ( x ) = 8 n ( x - m )$ 조건 (다)에서 $a = 0$일 때 $g ( m ) = 0$, $f ( m ) = 0$이므로 $0 {\leq} b {\leq} 0$을 만족시키는 정수 $b$의 개수는 $1$ $a = 1$일 때 $g ( m + 1 ) = 8 n$, $f ( m + 1 ) = 2 n$이므로 $8 n {\leq} b {\leq} 2 n$을 만족시키는 정수 $b$의 개수는 $2 n - 8 n + 1 = - 6 n + 1$ $a = 2$일 때 $g ( m + 2 ) = 16 n$, $f ( m + 2 ) = 8 n$이므로 $16 n {\leq} b {\leq} 8 n$을 만족시키는 정수 $b$의 개수는 $8 n - 16 n + 1 = - 8 n + 1$ $a = 3$일 때 $g ( m + 3 ) = 24 n$, $f ( m + 3 ) = 18 n$이므로 $24 n {\leq} b {\leq} 18 n$을 만족시키는 정수 $b$의 개수는 $18 n - 24 n + 1 = - 6 n + 1$ $a = 4$일 때 $g ( m + 4 ) = 32 n$, $f ( m + 4 ) = 32 n$이므로 $32 n {\leq} b {\leq} 32 n$을 만족시키는 정수 $b$의 개수는 $1$ 조건 (다)에서 모든 순서쌍 $( a , b )$의 개수는 $45$이므로 $1 + ( - 6 n + 1 ) + ( - 8 n + 1 ) + ( - 6 n + 1 ) + 1 = 45$ $n = - 2$ $f ( x ) = - 4 ( x - m ) ^{2}$, $g ( x ) = - 16 ( x - m )$ 방정식 $\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} - \left\{ g ( x ) \right\} ^{2} = 0$에서 $16 ( x - m ) ^{2} ( x - m + 4 ) ( x - m - 4 ) = 0$ $x = m - 4$ 또는 $x = m$ 또는 $x = m + 4$ 최댓값과 최솟값의 합이 $8$이므로 $( m + 4 ) + ( m - 4 ) = 8$, $m = 4$ $f ( x ) = - 4 ( x - 4 ) ^{2}$, $g ( x ) = - 16 ( x - 4 )$ 따라서 $f ( 5 ) \times g ( 5 ) = 64$