이차함수와 접선

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이용하여 함수를 구하는 문제를 해결한다. 조건 (가)에서 $f ( x ) =$$a ( x - 1 ) ^{2} + 9$ ($a$는 $a < 0$인 상수)로 놓을 수 있다. 조건 (나)에서 직선 $2 x - y + 1 = 0$, 즉 $y = 2 x + 1$의 기울기가 $2$이므로 이 직선과 평행한 직선의 기울기는 $2$이다. 따라서 기울기가 $2$이고 $y$절편이 $9$인 직선 $y = 2 x + 9$가 곡선 $y = f ( x )$에 접하므로 $a \left( x - 1 \right) ^{2} + 9 = 2 x + 9$ $ax ^{2} - 2 ( a + 1 ) x + a = 0$ 이차방정식 $ax ^{2} - 2 ( a + 1 ) x + a = 0$의 판별식을 $D$라 할 때, $D = 0$이어야 한다. $\displaystyle \frac{D}{4}$$= \left\{ - \left( a + 1 \right) \right\} ^{2} - a \times a$$= 2 a + 1$$= 0$ $\displaystyle a = \mathit{-} \frac{1}{2}$ $\displaystyle f ( x ) = \mathit{-} \frac{1}{2} \left( x - 1 \right) ^{2} + 9$ 따라서 $f ( 2 )$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2} \left( 2 - 1 \right) ^{2} + 9$$\displaystyle = \frac{17}{2}$