이차다항식 결정

$P \left( x \right)$, $Q \left( x \right)$는 각각 이차다항식이고 조건 (가)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $\left\{ P \left( x \right) + Q \left( x \right) \right\} \times \left\{ P \left( x \right) - Q \left( x \right) \right\} = x ^{2} \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right)$ $\cdots \cdots$ ㉠ 그러므로 $P \left( x \right) + Q \left( x \right)$, $P \left( x \right) - Q \left( x \right)$는 각각 이차다항식이고 $x ^{2} \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right)$의 인수이다. 이때 $P \left( x \right) - Q \left( x \right)$가 $x - 1$을 인수로 가지면 인수정리에 의하여 $P \left( 1 \right) - Q \left( 1 \right) = 0$이 되어 조건 (나)를 만족시키지 않는다. $P \left( x \right) - Q \left( x \right)$는 $x - 1$을 인수로 갖지 않으므로 $P \left( x \right) - Q \left( x \right)$는 $x ^{2}$을 인수로 갖거나 $x \left( x - 2 \right)$를 인수로 갖는다. (ⅰ) $P \left( x \right) - Q \left( x \right) = a x ^{2}$ ($a$는 $\mathrm{0}$이 아닌 실수)일 때 $\left| P \left( 2 \right) - Q \left( 2 \right) \right| = \left| 4 a \right|$, $\left| P \left( 1 \right) - Q \left( 1 \right) \right| = \left| a \right|$이고 $\left| 4 a \right| > \left| a \right|$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $P \left( x \right) - Q \left( x \right) = a x \left( x - 2 \right)$ ($a$는 $\mathrm{0}$이 아닌 실수)일 때 $\left| P \left( 2 \right) - Q \left( 2 \right) \right| = 0$, $\left| P \left( 1 \right) - Q \left( 1 \right) \right| = \left| a \right|$ 이고 $0 < \left| a \right|$이므로 조건 (나)를 만족시킨다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $P \left( x \right) - Q \left( x \right) = a x \left( x - 2 \right)$이고 ㉠에 의하여 $\displaystyle P \left( x \right) + Q \left( x \right) = \frac{1}{a} x \left( x - 1 \right)$이다. $\displaystyle P \left( 3 \right) + Q \left( 3 \right) = \frac{1}{a} \times 3 \times 2 = 24$에서 $\displaystyle a = \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle P \left( x \right) - Q \left( x \right) = \frac{1}{4} x \left( x - 2 \right)$, $P \left( x \right) + Q \left( x \right) = 4 x \left( x - 1 \right)$ 두 식을 연립하여 계산하면 $\displaystyle P \left( x \right) = \frac{17}{8} x ^{2} - \frac{9}{4} x$, $\displaystyle Q \left( x \right) = \frac{15}{8} x ^{2} - \frac{7}{4} x$ 따라서 $P \left( 4 \right) = 25$