미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이차방정식의 두 근 사이의 정적분

문제

실수 pp에 대하여 이차방정식 x2−2px+p−1=0x ^{2} - 2 px + p - 1 = 0의 두 실근을 α\alpha, β\beta (α<β\alpha < \beta)라 할 때, ∫αβ∣x−p∣dx\displaystyle \int _{\alpha} ^{\beta} \left| x - p \right| dx 의 최솟값은? [4점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤34\displaystyle \frac{3}{4}

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해설

이차함수 y=x2−2px+p−1y = x ^{2} - 2 px + p - 1의 그래프는 대칭축이 x=px = p이므로 이 이차함수의 그래프와 y=∣x−p∣y = | x - p |의 그래프는 그림과 같고, 정적분의 값은 색칠된 영역의 넓이이다. 따라서 ∫αβ∣x−p∣dx\displaystyle \int _{\alpha} ^{\beta} \left| x - p \right| dx=(β−α2)2\displaystyle = \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right) ^{2}=14(α+β)2−αβ\displaystyle = \frac{1}{4} ( \alpha + \beta ) ^{2} - \alpha \beta =p2−(p−1)= p ^{2} - ( p - 1 )=(p−12)2+34\displaystyle = \left( p - \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{3}{4} 최솟값은 p=12\displaystyle p = \frac{1}{2}일 때, 34\displaystyle \frac{3}{4}이다.

태그

#정적분의 활용#이차방정식의 근#최솟값

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