대수삼각함수AI기본 문제 (3점 중반)

이차 삼각부등식이 항상 성립할 조건

문제

모든 실수 xx에 대하여 부등식 sin⁡2x−4sin⁡x+a>0\sin ^{2} x - 4 \sin x + a > 0이 항상 성립하도록 하는 실수 aa의 값의 범위는? [3점] ①a>1a > 1②a>2a > 2③a>3a > 3④a>4a > 4⑤a≥4a \geq 4

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③

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해설

sin⁡x=t\sin x = t라 하면 −1≤t≤1- 1 \leq t \leq 1 f(t)=t2−4t+a=(t−2)2+a−4f ( t ) = t ^{2} - 4 t + a = ( t - 2 ) ^{2} + a - 4라 하면 f(t)f ( t )는 −1≤t≤1- 1 \leq t \leq 1에서 감소하므로 t=1t = 1에서 최솟값 f(1)=a−3f ( 1 ) = a - 3을 갖는다. 부등식이 항상 성립하려면 a−3>0a - 3 > 0 따라서 a>3a > 3 답 ③

태그

#삼각부등식#항상 성립#치환#이차함수의 최솟값

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