현의 중점 자취 빈칸

임의의 실수 $m$에 대하여 부등식 $y > x ^{2}$의 영역에 있는 한 점 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$를 지나고 기울기가 $m$인 직선이 이차함수 $y = x ^{2}$의 그래프와 만나는 두 점을 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 할 때, 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{M}$이 그리는 도형의 방정식을 구하는 과정이다.

$y = x ^{2}$

임의의 실수 $m$에 대하여 부등식 $y > x ^{2}$의 영역에 있는 한 점 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$를 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $y = m ( x - a ) + b$ …… ㉠ ㉠이 이차함수 $y = x ^{2}$의 그래프와 만나는 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표를 각각 $\mathrm{A} \mathit{(} x _{1} , y _{1} )$, $\mathrm{B} \mathit{(} x _{2} , y _{2} )$, 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{M}$의 좌표를 $\mathrm{M} \left( \mathit{X} , Y \right)$라 하면 $x _{1}$, $x _{2}$는 이차방정식 $x ^{2} - m ( x - a ) - b = 0$의 두 근이므로 $\displaystyle X = \frac{x _{1} + x _{2}}{2} = {\square {( \text{가} )}}$ …… ㉡ $\displaystyle Y = \frac{y _{1} + y _{2}}{2} = {\square {( \text{나} )}} - am + b$ …… ㉢ ㉡, ㉢에 의하여 $Y = {\square {( \text{다} )}} X ^{2} - 2 aX + b$ 따라서 구하는 도형의 방정식은 $y = {\square {( \text{다} )}} x ^{2} - 2 ax + b$이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( m )$, $g ( m )$이라 하고, (다)에 알맞은 수를 $k$라 할 때, $f \left( k \right) + g \left( k \right)$의 값은? [4점] ①$1$②$\displaystyle \frac{3}{2}$③$2$④$\displaystyle \frac{5}{2}$⑤$3$