합성함수 정적분 조건

[출제의도] 합성함수 성질을 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다.

$y = f ^{4} ( x )$

따라서 $\displaystyle \int _{-2n} ^{2n} {f ^{2n} ( x )} dx = - 2 n$, $\displaystyle \int _{0} ^{2n{f ^{2n} ( x )}} dx = - n$, $\displaystyle \int _{n} ^{2n{f ^{2n} ( x )}} dx = - \frac{n}{2}$이다. ⑴ $t \geq n$인 경우 ① $n \leq t < 2 n$에서 $\displaystyle \int _{n} ^{t} {f ^{2n} ( x )} dx < 0$이다. ② $t > 2 n$에서 $\displaystyle \int _{n} ^{t} {f ^{2 n} ( x )} dx$$\displaystyle = \int _{n} ^{2 n} {f ^{2 n} ( x )} dx + \int _{2 n} ^{t} {f ^{2 n} ( x )} dx$ $\displaystyle = - \frac{n}{2} + \int _{2 n} ^{t} {f ^{2 n} ( x )} dx \geq 0$ 이므로 $\displaystyle \int _{2 n} ^{t} {f ^{2 n} ( x )} dx = \frac{1}{2} ( t - 2 n ) ^{2} \geq \frac{n}{2}$이다. 따라서 $( t - 2 n ) ^{2} \geq n$이므로 $\displaystyle t \geq 2 n + \sqrt{n}$이다. ⑵ $t < n$인 경우 $\displaystyle \int _{n} ^{t} {f ^{2 n} ( x )} dx = - \int _{t} ^{n} {f ^{2 n} ( x )} dx \geq 0$이므로 $\displaystyle \int _{t} ^{n} {f ( x )} dx \leq 0$이어야 한다. ① $t = - 2 n$인 경우 $\displaystyle \int _{- 2 n} ^{n} {f ^{2 n} ( x )} dx = - \frac{3}{2} n$ ② $t < - 2 n$인 경우 $\displaystyle \int _{t} ^{- 2 n} {f ^{2 n} ( x )} dx = \frac{1}{2} ( - 2 n - t ) ^{2}$ $\displaystyle \int _{t} ^{n} {f ^{2 n} ( x )} dx$ $\displaystyle = \int _{t} ^{- 2 n} {f ^{2 n} ( x )} dx + \int _{- 2 n} ^{n} {f ^{2 n} ( x )} dx$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( - 2 n - t ) ^{2} - \frac{3}{2} n \leq 0$ 따라서 $\displaystyle \frac{1}{2} ( - 2 n - t ) ^{2} \leq \frac{3}{2} n$이므로 $\displaystyle t \geq - 2 n - \sqrt{3 n}$이다. 그러므로 ⑴, ⑵에서 $t$의 최솟값은 $\displaystyle - 2 n - \sqrt{3 n}$이다. $t$의 최솟값이 정수이기 위해서는 $\displaystyle \sqrt{3 n}$이 자연수이어야 하므로 $n = 3 \times 1 ^{2} = 3$ $n = 3 \times 2 ^{2} = 12$ $n = 3 \times 3 ^{2} = 27$ $n = 3 \times 4 ^{2} = 48$ $n = 3 \times 5 ^{2} = 75$ 따라서 모든 $n$의 합은 $165$