합성함수 최댓값

[출제의도] 지수함수와 이차함수를 이용하여 최댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $f ( g ( x ) )$$= f ( a ^{x} )$$= - a ^{2 x} + 2 a ^{x} + 1$$= - ( a ^{x} - 1 ) ^{2} + 2$ $( - 1 \leq x \leq 2 )$ $g ( f ( x ) )$$= a ^{f(x)}$$= a ^{- x ^{2} + 2 x + 1}$ $= a ^{- ( x - 1 ) ^{2} + 2}$ $( - 1 \leq x \leq 2 )$ (ⅰ) $a > 1$일 때, $a ^{x} = t$ ($t > 0$)라 하면 $f ( g ( x ) )$$= - ( t - 1 ) ^{2} + 2$ $\displaystyle \left( \frac{1}{a} \leq t \leq a ^{2} \right)$ 이때, $\displaystyle 0 < \frac{1}{a} < 1$이고 $a ^{2} > 1$이므로 $f ( g ( x ) )$의 최댓값은 $2$이다. 함수 $g ( f ( x ) )$$= a ^{f(x)}$은 $f ( x )$가 최대일 때 최댓값을 갖는다. 따라서 $x = 1$일 때 최댓값 $a ^{2}$을 가지므로 $a ^{2} = 2$ ∴ $\displaystyle a = \sqrt{2}$ $( \because a > 1 )$ (ⅱ) $0 < a < 1$일 때, $a ^{x} = t$ ($t > 0$)라 하면 $f ( g ( x ) )$$= - ( t - 1 ) ^{2} + 2$ $\displaystyle \left( a ^{2} \leq t \leq \frac{1}{a} \right)$ 이때, $0 < a ^{2} < 1$이고 $\displaystyle \frac{1}{a} > 1$이므로 $f ( g ( x ) )$의 최댓값은 $2$이다. 함수 $g ( f ( x ) )$$= a ^{f(x)}$은 $f ( x )$가 최소일 때 최댓값을 갖는다. 따라서 $x = - 1$일 때 최댓값 $a ^{- 2}$을 가지므로 $a ^{- 2} = 2$ ∴ $\displaystyle a = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $( \because 0 < a < 1 )$ (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 $a$값의 합은 $\displaystyle \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} =$ $\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2}$